Полезные статьи

Учебное пособие по производным

Учебное пособие по математике «Производная и ее применение»

Разделы: Математика

В Концепции модернизации Российского образования подчеркивается: «Развивающемуся обществу нужны современно образованные, нравственные, предприимчивые люди, которые могут самостоятельно принимать ответственные решения в ситуации выбора, прогнозируя их возможные последствия, способные к сотрудничеству, отличаются мобильностью, динамизмом, конструктивностью, развитым чувством ответственности за судьбу страны».

С введением Федеральных государственных образовательных стандартов профессионального образования нового поколения меняется подход к преподаванию дисциплин общеобразовательного цикла, который предусматривает формирование не только элементарных ключевых компетенций (универсальных или общекультурных, учебных, коммуникативных, правовых, социально-политических, семейных), но и новых ключевых компетенций, необходимых для современного специалиста, таких как экономическая (ориентация в современной рыночной экономике, участие в ней не только в качестве объекта — потребителя, но и субъекта — предпринимателя, менеджера, производителя товаров и услуг и т.д.) и профессиональная (ориентированность в выборе профессии, профессиональная подготовка к выполнению в будущем социальных ролей «специалиста», «профессионала»).

В процессе преподавания дисциплины «Математика» я столкнулась с тем, что учебной литературы по дисциплине много, но, вместе с тем, обучающимся сложно сориентироваться, какое изложение информации по теме будет самым точным и понятным. Нехватка учебника («Математика», автор Башмаков М.Г.), рекомендованного для изучения дисциплины и отсутствие задачника к данному учебнику, стали решающими факторами для разработки и внедрения в учебный процесс авторских учебных пособий.

Эффективность урока зависит oт множества различных причин, ибо урок — явление, представляющее собой достаточно сложную процессуальную психолого-педагогическую систему. На уроках математики и в повседневной жизни обучающиеся встречаются со многими явлениями, но обычно не задумываются над их объяснением — настолько они привычны. Аристотель заметил, что «ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знания на деле». Курс математики должен быть построен на использовании разнообразных методик обучения, направленных на способ восхождения от абстрактного к конкретному. Согласно этому целью изучения курса математики становится выработка компетенций, которая невозможна без применения современных технологий.

Модульная технология преобразует образовательный процесс так, что учащийся самостоятельно (полностью или частично) обучается по целевой индивидуализированной программе.

Учебное пособие предназначено для обучающихся, изучающих математику на базовом уровне, в частности для обучающихся образовательных учреждений начального и среднего профессионального образования.

В учебном пособие рассматривается тема «Производная и её применение». Оно включает в себя материал, предусмотренный действующим государственным стандартом для обучения математике в старшей школе на базовом уровне. Содержание пособия распределено на 5 микромодулей:

М.М.1. Определение производной

М.М.2. Дифференцирование функций

М.М.3. Физический (механический) смысл производной

По требованиям к уровню подготовки

Учебное пособие содержит достаточный практический материал для освоения основных предусмотренных стандартом умений и накопления опыта в использовании приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни по данной теме. За основу взяты дидактические единицы из Примерной программы по математике для базового уровня автора Башмакова М.И.

По познавательным универсальным действиям

В соответствии с идеями стандартов нового поколения учебное пособие содержит достаточно материала для формирования стандартных универсальных действий, относящихся к поиску и выделению необходимой информации, структурированию знаний, выбору наиболее эффективных способов решения задач, осмыслению текста и рефлексии способов и условий действий.

При разработке учебного пособия учитывалась реализация концепции продуктивного обучения, которая лежит в рамках общепринятого деятельностного подхода к обучению.

В процессе обучения математике теоретическая часть пособия способствует развитию интеллектуальных возможностей обучающегося (восприятие, понимание и объяснение себе и другим открывающиеся ему новые математические знания) с одной стороны и обеспечивает дальнейшее их развитие структурой учебных заданий в соответствии основными познавательными стилями в постановке и решении задач (алгоритмический, визуальный, прикладной, дедуктивный, исследовательский).

Особенности учебного пособия

В представляемом учебном пособии теоретическая часть представлена конкретизирующей информацией по теме, а в практический блок включен материал, разбитый, как правило, на три уровня сложности.

Современные подходы к обучению математике в образовательных учреждениях предполагают, что обучающиеся овладеют не просто определенной системой знаний, умений и навыков, а приобретут некоторую совокупность компетенций, необходимых для продолжения образования, в практической деятельности и повседневной жизни.

Цели:

    овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки
  • развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критического мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности;

Задачи:

  • приобретение математических знаний и умений;
  • овладение обобщенными способами мыслительной, творческой деятельностей;
  • освоение компетенций: учебно-познавательной, коммуникативной, рефлексивной, личностного саморазвития, ценностно-ориентационной и профессионально-трудового выбора;
  • интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей.
  • Внедрение учебного пособия «Производная и её применение» в учебный процесс на практике позволит:

    • сформировать общеучебные компетенции у обучающихся;
    • повысить качество знаний по данной теме;
    • использовать пособие во внеаудиторное время (электронный вариант);
    • повысить самооценку обучающегося.

    Учебное пособие «Производная и её применение»

    М.М.4. Геометрический смысл производной

    М.М.5. Применение производной к исследованию функций

    2. Обучающая самостоятельная работа (Приложение 2)

    Зачётный лист 3

    3. Диагностическая самостоятельная работа (Приложение 3)

    Зачётный лист 1

    Зачётный лист 2

    Зачётный лист 4

    Рассматривая требования к результатам освоения основной профессиональной образовательной программы, можно сделать вывод, что все прописанные там компетенции удачно решаются с помощью технологии модульного обучения, то есть выпускник должен обладать общими компетенциями, включающими в себя способность:

    ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем.

    ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.

    ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.

    ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

    ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.

    Список используемой литературы.

    1. Башмаков М.И. Математика: учебник для нач. и сред.проф.образования. М. Издательский центр «Академия», ОАО «Московские учебники», 2010.- 256с.
    2. Башмаков М.И. Математика 11 класс. Сборник задач: среднее (полное) общее образование. М. Издательский центр «Академия», 2010 — 208с.
    3. Математика. 11 класс: учебник для учащихся образовательных учреждений (базовый уровень) под ред. А.Г.Мордковича, И.М.Смирновой. М.: Мнемозина, 2008 — 465с.
    4. Алгебра и начал анализа 10-11 кл.: В двух частях. Ч.1 Задачник для общеобразовательных учреждений под ред. А.Г.Мордковича М.Мнемозина, 2009 -315с.
    5. Алгебра и начал анализа 10-11 кл.: В двух частях. Ч.2 Задачник для общеобразовательных учреждений под ред. А.Г.Мордковича М.Мнемозина, 2010-327с.
    6. xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

      УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА ДИСЦИПЛИНА МАТЕМАТИКА

      Транскрипт

      1 КОМИТЕТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ «ВОЛХОВСКИЙ АЛЮМИНИЕВЫЙ КОЛЛЕДЖ» УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ КУРСА ДИСЦИПЛИНА МАТЕМАТИКА Разработчик: Фомина Елена Анатольевна преподаватель математики и информатики Волхов

      2 Учебное пособие разработано в соответствии с примерной рабочей программой по математике для курса СПО. В пособии приведено краткое изложение теоретических вопросов темы «Дифференцирование и интегрирование функции»; разбираются решения базовых задач; предлагаются задачи для самостоятельного решения, список литературы. Рассмотрена и одобрена цикловой комиссией математических и общих естественнонаучных дисциплин и специальности.. «Химическая технология неорганических веществ» Протокол от января г. УТВЕРЖДАЮ Заместитель директора по УР Т.М.Рябинина г. Председатель математических и общих естественно-научных дисциплин Борошнева Н.В. Организация-разработчик: ГБПОУ ЛО «Волховский алюминиевый колледж» Разработчик: Фомина Е.А., преподаватель ГБПОУ ЛО «Волховский алюминиевый колледж»

      3 Содержание Глава. Дифференцирование функции. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Производные элементарных функций. Правила нахождения производной. Производная многочлена. Критические точки функции. 6 Выпуклость функции. Точки перегиба Связь производной и монотонности. Точки экстремума. Применение производной при исследовании функции и построения ее графика. Сложная функция. Производная сложной функции. Глава. Интегрирование функции. Первообразная и неопределенный интеграл. Правила интегрирования и таблица основных интегралов. Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование. Метод подстановки Определенный интеграл и его применение для вычисления площади криволинейной трапеции.

      4 Глава. Дифференцирование функции Изучая понятие предела функции в точке, мы пришли к выводу, что существование предела связано с непрерывностью функции в точке. Предел позволяет определить, будет ли функция в точке непрерывна, или функция в точке терпит разрыв. Следующее понятие, которое мы будем изучать для функции, это понятие производной функции в точке. С помощью производной можно выяснить, на каких интервалах функции возрастает, на каких убывает; в каких точках интервала функция достигает максимального или минимального значения и т.д. С помощью производной можно представить, как будет выглядеть график функции.. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл Рассмотрим некоторую функцию f и зафиксируем на графике точку. Сделаем шаг вправо от точки и попадем в точку х. Опр. х — — называется приращением аргумента читается «дельта икс» Дав приращение аргументу, функция изменит свое значение: было значение f, стало значение f Опр. f f f — называется приращением функции читается «дельта эф в точке» Опр. Производной функции f в точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю: f f ‘ lim f -производная функции точке, читается «эф штрих в точке» ‘

      5 Операция нахождения производной от данной функции называется дифференцированием. Рассмотрим физический смысл производной. Производная показывает, как быстро успевает изменяться функция вслед за изменением аргумента х. Т.к. приращение аргумента стремится к нулю шаг вправо число близкое к нулю, можно утверждать, что производная функции в точке это мгновенная скорость изменения функции. Для рисунка производная функции f в точке больше, чем производная функции g, т.к f > g. А производная функции t, график которой из себя представляет прямую, в точке равна нуль, т.к. давая приращение аргументу х-, функция не меняется, т.е. ее приращение равно нулю: t t t. Рассмотрим геометрический смысл производной. Дав приращение аргументу, мы по графику из точки А попадем в точку В. Отрезок АВ называется секущей. Если приращение стремится к нулю, то секущая стремится занять положение прямой АС, которая имеет только одну общую точку с кривой, и называется касательной. f tgα — тангенс угла наклона секущей AB к положительному направлению оси ОХ.

      6 Учитывая определение производной и тот факт, что секущая стремится занять положение касательной, можно утверждать, что производная функции в точке это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке. Касательная в точке показывает направление движения функции. Таким образом, с помощью линейки, карандаша и транспортира мы можем найти производную функции в точке f’, выполнив следующие действия:. Построить касательную к графику в точке. Измерить транспортиром α — угол наклона касательной к положительному направлению оси ОХ. Найти тангенс угла наклона tgαf’ Вопросы и задачи для самостоятельного решения. Перерисовать чертеж и построить в указанных точках касательные.. Какому углу касательной соответствует производная равная нулю?. Для каких углов касательной производная принимает положительные значения?. Для каких углов касательной производная принимает отрицательные значения?. Может ли производная не существовать в точке, чему в этом случае равен угол наклона касательной? 6

      7 6. Заполнить таблицу, использую точки графика. В каких точках производная положительная точки графика В каких точках производная отрицательная В каких точках производная равна нулю В каких точках производная не существует. Производные элементарных функций Для того чтобы найти производную функции в точке, необходимо воспользоваться определением производной. f f ‘ lim Т.е. следует оценить приращение аргумента, приращение функции, найти предел. Рассмотрим задачу. Задача. Найти производную функции в точке х f f f f f lim f + lim lim lim + lim +

      8 Ответ: f Для элементарных функций существую формулы для нахождения производной в произвольной точке. Мы не будем выводить эти формулы, научимся их применять при решении задач. Формулы производных элементарных функций. k, kconst — производная константы, равна нулю Пример:. — производная функции х n n. n — производная степенной функции Пример: ; При дифференцировании степенной функции степень понижается.. a ln a a — производная показательной функции Пример: ln ; ln. e ln e — производная экспоненциальной функции равна натуральному логарифму е, 6. log a — производная логарифмической функции ln a Пример: log ; lg, т.к. log lg ln ln. ln — производная натурального логарифма. Производные тригонометрических функций sin tg cos cos cos sin ctg sin. ;

      9 Рассмотрим решение задач. Задача. Найти производные функций в указанных точках А В ln ln log log С 6 sin 6 sin 6 ctg ctg ctg Задача. Найти производные степенных функций

      10 6 6 6 Вопросы и задачи для самостоятельного решения Задача. Найти значение производной функции в точке 6 ; ; ; 6 ; ; e ; log ln ; sin ; cos ; 6 tg ; ctg Задача. Найти производную степенной функции ; ; 6 ; ; ;

      11 . Правила нахождения производной Имея элементарные функции f и g, четыре основные алгебраические операции сложение, вычитание, произведение и деление можно построить другие функции: f f + g ; f — g; f g ; g В этом случае для нахождения производной будем использовать следующие правила:. Правило вынесения постоянного коэффициента из под знака производной. kf’k f’, kconst — коэффициент можно выносить из под знака производной. Пример: ‘ ‘ k, f. Правила для нахождения производной суммы разности: f ± g’f’ ±g’ — производная суммы разности равна сумме разности производных Пример: + sin ‘ ‘ + sin ‘ + cos cos Пример: log ‘ ‘ log ‘ ln. Правила для нахождения производной произведения: f g ‘ f ‘ g + f g’ — производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую функцию и первой функции на производную второй функции: f g’ f ‘ g + f g’ — краткая формула

      12 Пример:? ‘ cos sin cos sin cos ‘ cos cos ‘ ‘ cos + +. Правила для нахождения производной дроби: g g f g f g f — производная дроби равна дроби, числитель которой равен разности произведений производной числителя на знаменатель и числитель на производную знаменателя, а знаменатель дроби равен квадрату знаменателя. Пример:? e g g f g f g f ‘ ‘ e e e e e. Производная многочлена Пусть функция задана в виде многочлена n-й степени. Пример: — многочлен первой степени + — многочлен второй степени многочлен пятой степени

      13 Для нахождения производной многочлена n-й степени будем использовать следующие правила и формулы: правило перехода от производной суммы или разности к сумме или разности производных: f±g’f’± g’ правило вынесения коэффициента из под знака производной: kf’k f’, kconst формулу для нахождения производной постоянной функции: С’, Cconst формулу для нахождения производной функции : ‘ формулу для нахождения производной степенной функции n n n Пример: ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ + ‘ ‘ ‘ + ‘ ‘ ‘ ‘ + ‘ + 6 ‘ + ‘ ‘ + Пусть функция из себя представляет дробно-рациональную функцию, т.е. задана в виде дроби, в которой числитель и знаменатель это многочлены определенной степени. Пример: Для нахождения производной дробно-рациональной функции к перечисленным правилам добавляется правило нахождения производной дроби: f f g f g g g

      14 Пример: ‘ ‘ + Вопросы и задачи для самостоятельного решения Задача. Используя правила дифференцирования, найти производные А ‘ ; tg ‘ ; ‘ В 6 + ‘ ; e + ‘ ; ctg + ln ‘ С cos ‘ log ; sin ; Д sin ; ln ; tg Задача. Найти производную функции, заданной в виде многочлена А + ‘ В + ‘ С ‘ Задача. Найти производную дробно-рациональной функции + +

      15 . Критические точки функции Критическими точками функции называют точки, в которых производная равна нулю или не существует. Рассмотрим оба случая:. Производная функции равна нулю, f ‘ Т.к, производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке, то производная равна нулю там, где тангенс угла наклона касательной равен нулю: f ‘ tgα. Известно, что тангенс нуля равен нулю tgº, т.е. касательная должна быть горизонтальной. В А С Точка А точка максимума, имеет горизонтальную касательную Точка В точка минимума, имеет горизонтальную касательную Точка С точка перегиба с горизонтальной касательной. Производная не существует в двух случаях: А Производная f ‘ не существует для тех точек, в которых касательная вертикальная линия, т.е. угол наклона касательной по отношению к положительному направлению оси ОХ равен º. Т.к, производная функции в точке равна тангенсу угла наклона f ‘tgα, а tgº- не существует, то, следовательно, производная не существует. В Производная f ‘ не существует для тех точек, в которых можно провести D E F

      16 две касательные, т.е. нет однозначной производной. Представим эти точки на графике. Точка D это угловая точка, в этой точке можно построить две различные касательные. Точка E это точка возврата, в этой точке можно построить две касательные, которые сливаются в одну вертикальную касательную. Точка F это точка перегиба с вертикальной касательной.6 Выпуклость функции. Точки перегиба. График функции на интервале имеет направление выпуклости вверх, если график функции располагается ниже касательной, проведенной в любой точке интервала График функции на интервале имеет направление выпуклости вниз, если график функции располагается выше касательной, проведенной в любой точке интервала. Точки перегиба это точки, в которых меняется направление выпуклости. C E B F A X D Y Пример: Для рисунка имеем Направление выпуклости вверх: A;B, D;E, F,Y Направление выпуклости вниз: X;A, B;C, C,D, E,F A, B, D, E, F точки перегиба. Самостоятельно: определить для рисунка, в каких точках производная равна нулю, а в каких не существует. 6

      17 . Связь производной и монотонности Теорема. Функция на интервале возрастает тогда и только тогда, когда производная на этом интервале положительна: f ‘ > f Пояснение: Для возрастающей функции угол наклона касательной лежит в интервале от до градусов I четверть, в этом интервале тангенс принимает только положительные значения, следовательно, производная тоже. Теорема. Функция на интервале убывает тогда и только тогда, когда производная на этом интервале отрицательна: f ‘ , функция на интервале от — до возрастает ‘- — . Опр. Криволинейной трапецией будем называть фигуру, ограниченную графиком функции f, осью ОХ и вертикальными прямыми a и b. На рисунке изображена криволинейная трапеция ABCD. A B f D a C b Теорема: Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу функции f на интервале а;b S кр b b. трап f d F F b F a a a Задача. На интервале от до для функции построить криволинейную трапецию и найти ее площадь. Решение. Найдем точки для построения графика функции — -,

      30 S ABCD d ln ln ln ln ln Вопросы и задачи для самостоятельного решения Задача. Найти определенный интеграл d sin d 6 d cos d Задача. Построить криволинейную трапецию для функции на интервале от до. Найти площадь криволинейной трапеции.

      31 Список литературы Алимов Ш. А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа базовый и углубленный уровни. классы. М. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия базовый и углубленный уровни. классы. М. Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. М. Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. М. Башмаков М. И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. М. Башмаков М. И. Математика. Электронный учеб.-метод. комплекс для студ. Учреждений сред. проф. образования. М. Башмаков М. И. Математика базовый уровень. класс. М. Башмаков М. И. Математика базовый уровень. класс. М. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа, геометрия. класс. М. Башмаков М. И. Математика базовый уровень. класс. Сборник задач: учеб. пособие. М. Богомолов Н.В. Математика для ссузов — М. Дрофа, Богомолов Н.В. Сборник задач по математике _ М.: Дрофа,.

      docplayer.ru

      Производная

      Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

      Производная функции — отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента:

      Базовые производные:

      Правила дифференцирования:

      Константа выносится за знак производной:

      Производная сложной функции:

      Алгоритм нахождения производной от сложной функции:

    7. Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.
    8. Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.
    9. Умножаем результаты первого и второго пунктов.
    10. Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает. Если ось направить вдоль дороги горизонтально, а – вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:

      Ось – это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря.

      Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз. Также можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат). А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина? Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние. Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).

      Продвижение вперед обозначим (читается «дельта икс»).

      Греческую букву (дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение». То есть – это изменение величины , – изменение ; тогда что такое ? Правильно, изменение величины .

      Важно: выражение – это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы! То есть, например, .

      Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на . Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции , то как мы обозначим подъем? Конечно, . То есть, при продвижении вперед на мы поднимаемся выше на .

      Величину посчитать легко: если в начале мы находились на высоте , а после перемещения оказались на высоте , то . Если конечная точка оказалась ниже начальной, будет отрицательной – это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.

      Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:

      Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на км дорога поднимается вверх на км. Тогда крутизна в этом месте равна . А если дорога при продвижении на м опустилась на км? Тогда крутизна равна .

      А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма. Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец – через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.

      То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности. Просто на расстоянии в км может очень многое поменяться. Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны. Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно – ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить. Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр? Чем меньше, тем лучше!

      В реальной жизни измерять расстояние с точностью до милиметра – более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству. Поэтому было придумано понятие бесконечно малого, то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать. Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше? А ты подели это число на – и будет еще меньше. И так далее. Если хотим написать, что величина бесконечно мала, пишем так: (читаем «икс стремится к нулю»). Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.

      Понятие, противоположное бесконечно малому – бесконечно большое ( ). Ты уже наверняка сnалкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать. Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится. Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при , и наоборот: при .

      Теперь вернемся к нашей дороге. Идеально посчитанная крутизна – это куртизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:

      Замечу, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало. Но напомню, бесконечно малое – не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число, например, . То есть одна малая величина может быть ровно в раза больше другой.

      К чему все это? Дорога, крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим. А в математике все точно так же, только называется по-другому.

      Понятие производной

      Производная функции это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.

      Приращением в математике называют изменение. То, насколько изменился аргумент ( ) при продвижении вдоль оси , называется приращением аргумента и обозначается То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси на расстояние , называется приращением функции и обозначается .

      Итак, производная функции – это отношение к при . Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа: или просто . Итак, запишем формулу производной, используя эти обозначения:

      Как и в аналогии с доро́гой здесь при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.

      А бывает ли производная равна нулю? Конечно. Например, если мы едем по ровной горизонтальной дороге, крутизна равна нулю. И правда, высота ведь не совсем меняется. Так и с производной: производная постоянной функции (константы) равна нулю:

      так как приращение такой функции равно нулю при любом .

      Давай вспомним пример с вершиной холма. Там получалось, что можно так расположить концы отрезка по разные стороны от вершины, что высота на концах оказывается одинаковой, то есть отрезок располагается параллельно оси :

      Но большие отрезки – признак неточного измерения. Будем поднимать наш отрезок вверх параллельно самому себе, тогда его длина будет уменьшаться.

      В конце концов, когда мы будем бесконечно близко к вершине, длина отрезка станет бесконечно малой. Но при этом он остался параллелен оси , то есть разность высот на его концах равна нулю (не стремится, а именно равна). Значит, производная

      Понять это можно так: когда мы стоим на самой вершине, меленькое смещение влево или вправо изменяет нашу высоту ничтожно мало.

      Есть и чисто алгебраическое объяснение: левее вершины функция возрастает, а правее – убывает. Как мы уже выяснили ранее, при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна. Но меняется она плавно, без скачков (т.к. дорога нигде не меняет наклон резко). Поэтому между отрицательными и положительными значениями обязательно должен быть . Он и будет там, где функция ни возрастает, ни убывает – в точке вершины.

      То же самое справедливо и для впадины (область, где функция слева убывает, а справа – возрастает):

      Немного подробнее о приращениях.

      Итак, мы меняем аргумент на величину . Меняем от какого значения? Каким он (аргумент) теперь стал? Можем выбрать любую точку, и сейчас будем от нее плясать.

      Рассмотрим точку с координатой . Значение функции в ней равно . Затем делаем то самое приращение: увеличиваем координату на . Чему теперь равен аргумент? Очень легко: . А чему теперь равно значение функции? Куда аргумент, туда и функция: . А что с приращением функции? Ничего нового: это по-прежнему величина, на которую изменилась функция:

      Потренируйся находить приращения:

    11. Найди приращение функции в точке при приращении аргумента, равном .
    12. То же самое для функции в точке .
    13. В разных точках при одном и том же приращении аргумента приращение функции будет разным. Значит, и производная в каждой точке своя (это мы обсуждали в самом начале – крутизна дороги в разных точках разная). Поэтому когда пишем производную, надо указывать, в какой точке:

      «Ну ладно, ладно, уже давно понятно, что такое производная! Но как ее применить на практике? Давайте уже возьмем и вычислим какую-нибудь производную, в конце концов!» – скажешь ты. Щас все будет.

      Вычисление производных

      Начнем с простого.

      Это мы уже обсуждали: если функция , где – некое постоянное число, то каким бы ни было приращение аргумента , функция нисколько не изменяется: . А значит,

      То есть, произвоная от константы равна нулю:

      Степенная функция.

      Степенной называют функцию, где аргумент в какой-то степени (логично, да?).

      Причем – в любой степени: .

      Простейший случай – это когда показатель степени :

      Найдем ее производную в точке . Вспоминаем определение производной:

      Итак, аргумент меняется с до . Каково приращение функции?

      Приращение – это . Но функция в любой точке равна своему аргументу. Поэтому:

      Производная от равна :

      b) Теперь рассмотрим квадратичную функцию ( ): .

      А теперь вспомним, что . Это значит, что значением приращения можно пренебречь, так как оно бесконечно мало, и поэтому незначительно на фоне другого слагаемого:

      Итак, у нас родилось очередное правило:

      c) Продолжаем логический ряд: .

      Это выражение можно упростить по-разному: раскрыть первую скобку по формуле сокращенного умножения куб суммы, или же разложить все выражение на множители по формуле разности кубов. Попробуй сделать это сам любым из предложенных способов.

      Итак, у меня получилось следующее:

      И снова вспомним, что . Это значит, что можно пренебречь всеми слагаемыми, содержащими :

      d) Аналогичные правила можно получить и для больших степеней:

      e) Оказывается, это правило можно обобщить для степенной функции с произвольным показателем, даже не целым:

      Можно сформулировать правило словами: «степень выносится вперед как коэффициент, а потом уменьшается на ».

      Докажем это правило позже (почти в самом конце). А сейчас рассмотрим несколько примеров. Найди производную функций:

      1. ;
      2. (двумя способами: по формуле и используя определение производной – посчитав приращение функции);
      3. .
      4. . Не поверишь, но это степенная функция. Если у тебя возникли вопросы типа «Как это? А где же степень?», вспоминай тему «Степень и ее свойства»!
        Да-да, корень – это тоже степень, только дробная: .
        Значит, наш квадратный корень – это всего лишь степень с показателем :
        .
        Производную ищем по недавно выученной формуле:

        Если в этом месте снова стало непонятно, повторяй тему «Степень и ее свойства». (про степень с отрицательным показателем)

      5. . Теперь показатель степени :

        А теперь через определение (не забыл еще?):
        ;
        .
        Теперь, как обычно, пренебрегаем слагаемым, содержащим :
        .

      6. . Комбинация предыдущих случаев: .
      7. Тригонометрические функции.

        Здесь будем использовать один факт из высшей математики:

        Доказательство ты узнаешь на первом курсе института (а чтобы там оказаться, надо хорошо сдать ЕГЭ). Сейчас только покажу это графически:

        Видим, что при функция не существует – точка на графике выколота. Но чем ближе к значению , тем ближе функция к . Это и есть то самое «стремится».

        Впредь будем считать, что при это выражение равно : .

        Дополнительно можешь проверить это правило с помощью калькулятора. Да-да, не стесняйся, бери калькулятор, мы ведь не на ЕГЭ еще.

        Не забудь перевести калькулятор в режим «Радианы»!

        Попробуй теперь сам для и так далее.

        и т.д. Видим, что чем меньше , тем ближе значение отношения к .

        Убедился? Идем дальше.

        a) Рассмотрим функцию . Как обычно, найдем ее приращение:

        Превратим разность синусов в произведение. Для этого используем формулу (вспоминаем тему «Формулы тригонометрии»): .

        Сделаем замену: . Тогда при бесконечно малом также бесконечно мало: . Выражение для принимает вид:

        А теперь вспоминаем, что при выражение . А также, что если бесконечно малой величиной можно пренебречь в сумме (то есть при ).

        Итак, получаем следующее правило: производная синуса равна косинусу:

        b) Теперь косинус: . Здесь будем использовать формулу разности косинусов: :

        Значит, производная косинуса равна минус синусу:

        Это базовые («табличные») производные. Вот они одним списком:

        Позже мы к ним добавим еще несколько, но эти – самые важные, так как используются чаще всего.

        Потренируйся:

      8. Найди производную функции в точке ;
      9. Найди производную функции .
    14. Сперва найдем производную в общем виде, а затем подставим вместо его значение:
      ;
      .
    15. Тут у нас что-то похожее на степенную функцию. Попробуем привести ее к
      нормальному виду:
      .
      Отлично, теперь можно использовать формулу:
      .
      .
    16. . Ээээээ….. Что это.
    17. Ладно, ты прав, такие производные находить мы еще не умеем. Здесь у нас комбинация нескольких типов функций. Чтобы работать с ними, нужно выучить еще несколько правил:

      Экспонента и натуральный логарифм.

      Есть в математике такая функция, производная которой при любом равна значению самой функции при этом же . Называется она «экспонента», и является показательной функцией

      Основание этой функции – константа – это бесконечная десятичная дробь, то есть число иррациональное (такое как ). Его называют «число Эйлера», поэтому и обозначают буквой .

      Запомнить очень легко.

      Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

      В нашем случае основанием служит число :

      Такой логарифм (то есть логарифм с основанием ) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение : вместо пишем .

      Чему равен ? Конечно же, .

      Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

      Примеры:

    18. Чему равна производная функции ?
    19. Ответы:

      Экспонента и натуральный логарифм – функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.

      Правила дифференцирования

      Правила чего? Опять новый термин, блин.

      Дифференцирование – это процесс нахождения производной.

      Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же. Дифференциалом математики называют то самое приращение функции при . Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.

      При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, и . Нам понадобятся также формулы их приращений:

      Всего имеется 5 правил.

      Константа выносится за знак производной.

      Если – какое-то постоянное число (константа), тогда.

      Это правило употребляется чаще всех. Докажем его:

      Пусть , или проще .

      Пример: Найдите производную функции в точке .

      Решение:

      Ты сперва сам попробуй решить, а потом посмотри решение.

      Итак, константа здесь – это , функция – :

      Производная суммы.

      Производная суммы равна сумме производных:

      Очевидно, это правило работает и для разности: .

      Докажем. Пусть , или проще .

      Примеры.

      Найдите производные функций:

      Решения:

    20. (производная одинакова во всех точках, так как это линейная функция, помнишь?);
    21. ;
    22. .
    23. Производная произведения

      Хм, все сложнее и сложнее. Ну, давай разбираться.

      Снова введем новую функцию: , или проще .

      Вспомним, о чем говорили в самом начале этого раздела:

      Но при приращение любой функции тоже бесконечно мало: . Поэтому последним слагаемым в выражении для производной можно пренебречь:

      Примеры:

    24. Докажи правило 0 с помощью правила 2;
    25. Найди производную выражения ;
    26. youclever.org