Полезные статьи

Решение выражений правила

Оглавление:

Порядок выполнения действий, правила, примеры.

Числовые,буквенные выражения и выражения с переменными в своей записи могут содержать знаки различных арифметических действий. При преобразовании выражений и вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий.

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

  • действия выполняются по порядку слева направо,
  • причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.
  • Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

    Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

    Выполните действия 7−3+6 .

    Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

    Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

    Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

    Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

    сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

    Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

    Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 — значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

    В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

    На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

    Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание — следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

    Действия первой и второй ступени

    В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

    Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени.

    В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

    Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

    Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий. В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками, формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

    Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

    Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

    Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

    Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

    Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

    Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

    Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

    Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

    Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

    Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

    Порядок выполнения действий в выражениях с корнями, степенями, логарифмами и другими функциями

    Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий, при этом также учитываются правила из предыдущих пунктов, задающие порядок выполнения действий. Иными словами, перечисленные вещи, грубо говоря, можно считать заключенными в скобки, а мы знаем, что сначала выполняются действия в скобках.

    Рассмотрим решения примеров.

    Выполните действия в выражении (3+1)·2+6 2 :3−7 .

    В этом выражении содержится степень 6 2 , ее значение нужно вычислить до выполнения остальных действий. Итак, выполняем возведение в степень: 6 2 =36 . Подставляем это значение в исходное выражение, оно примет вид (3+1)·2+36:3−7 .

    Дальше все понятно: выполняем действия в скобках, после чего остается выражение без скобок, в котором по порядку слева направо сначала выполняем умножение и деление, а затем – сложение и вычитание. Имеем (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7= 8+12−7=13 .

    Другие, в том числе и более сложные примеры выполнения действий в выражениях с корнями, степенями и т.п., Вы можете посмотреть в статье вычисление значений выражений.

    cleverstudents.ru

    Калькулятор онлайн.
    Решение неравенств: линейные, квадратные и дробные.

    Программа решения неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

    Причём, если в процессе решения неравенства нужно решить, например, квадратное уравнение, то его подробное решение также выводится (оно заключается в спойлер).

    Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

    В качестве переменной можно использовать только x
    Все остальные буквы недопустимы.

    При вводе можно использовать только целые числа.
    В показателе степени можно использовать только целые положительные числа.

    Если вам нужно решить, например, такое неравенство \( 0,6x^2+0,8x-7,8 > 5(x-0,1) \), то умножте обе части неравенства на 10 (ответ при этом не изменятся) и введите такие выражения в поля ввода: 6x^2+8x-78 и 5(10x-1)

    При вводе выражений можно использовать скобки. В этом случае при решении неравенства выражения сначала упрощаются.
    Например:
    >

    Нажмите на кнопку для изменения типа неравенства.

    Выберите нужный знак неравенства и введите многочлены в поля ниже.
    Решить неравенство

    Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
    Через несколько секунд решение появится ниже.
    Пожалуйста подождите сек.

    Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.

    Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.

    Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), \frac<1> <3>\) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 — неверное числовое неравенство.

    Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 — неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.

    Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.

    Далее вы узнаете свойства неравенств, научитесь решать неравенства. Полученные умения вам понадобятся при изучении последующего материала, для решения практических задач, а также задач физики и геометрии.

    Числовые неравенства

    Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.

    Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

    Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

    Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а b означает, что разность а — b положительна, т.е. а — b > 0. Неравенство а b, a = b, a , = или b и Ь > с, то а > с.

    Теорема. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
    Следствие.Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

    Теорема. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
    Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

    Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.

    При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй — более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

    При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

    Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.

    Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d — положительные числа, то ac > bd.

    Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c и и b, \quad ax

    Решение неравенств второй степени с одной переменной

    Неравенства вида
    \( ax^2+bx+c >0 \) и \( ax^2+bx+c 0 \) или \( ax^2+bx+c 0 или вниз при a 0 или в нижней при a 0 \) ) или ниже оси x (если решают неравенство
    \( ax^2+bx+c

    Решение неравенств методом интервалов

    Рассмотрим функцию
    f(x) = (х + 2)(х — 3)(х — 5)

    Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки \( (-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) и \( (5; +\infty) \)

    Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.

    Выражение (х + 2)(х — 3)(х — 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:

    www.mathsolution.ru

    Решение задач по математике онлайн

    Калькулятор онлайн.
    Решение логарифмических уравнений.

    Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить логарифмическое уравнение. Программа для решения логарифмического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

    Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

    Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
    Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >>
    ln(b) или log(b) или log(e,b) — натуральный логарифм числа b
    log(10,b) — десятичный логарифм числа b
    log(a,b) — логарифм b по основанию a

    Введите логарифмическое уравнение
    Решить уравнение

    Немного теории.

    Логарифмическая функция. Логарифмы

    Задача 1. Найти положительный корень уравнения x 4 = 81
    По определению арифметического корня имеем \( x = \sqrt[4] <81>= 3 \)

    Задача 2. Решить уравнение 3 x = 81
    Запишем данное уравнение так: 3 x = 3 4 , откуда x = 4

    В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени. Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение 3 x = 80 таким способом решить не удаётся. Однако это уравнение имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводится понятие логарифма числа.
    Уравнение a x = b, где a > 0, \( a \neq 1 \), b > 0, имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом числа b no основанию a и обозначают logab
    Например, корнем уравнения 3 x = 81 является число 4, т.е. log381 = 4.

    Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, \( a \neq 1 \), называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b

    log77 = 1, так как 7 1 = 7

    Определение логарифма можно записать так:

    Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.
    Действие нахождения числа по его логарифму называют потенцированием.

    Вычислить log64128
    Обозначим log64128 = х. По определению логарифма 64 x = 128. Так как 64 = 2 6 , 128 = 2 7 , то 2 6x = 2 7 , откуда 6x = 7, х = 7/6.
    Ответ log64128 = 7/6

    Вычислить \( 3^ <-2\log_3 5>\)
    Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим

    Решить уравнение log3(1-x) = 2
    По определению логарифма 3 2 = 1 — x, откуда x = -8

    Свойства логарифмов

    При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

    Пусть а > 0, \( a \neq 1 \), b > 0, c > 0, r — любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

    Десятичные и натуральные логарифмы

    Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью микрокалькулятора. И в том и в другом случае находятся только десятичные или натуральные логарифмы.

    Определение. Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут
    lg b вместо log10b

    Определение. Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e — иррациональное число, приближённо равное 2,7. При этом пишут ln b вместо logeb

    Иррациональное число e играет важную роль в математике и её приложениях. Число e можно представить как сумму:
    $$ e = 1 + \frac<1> <1>+ \frac<1> <1 \cdot 2>+ \frac<1> <1 \cdot 2 \cdot 3>+ \dots + \frac<1> <1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n>+ \dots $$

    Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию.
    Для этого используется формула замены основания логарифма:

    Следствия из формулы замены основания логарифма.
    При c = 10 и c = e получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:
    $$ \log_a b = \frac<\lg b> <\lg a>, \;\; \log_a b = \frac<\ln b> <\ln a>$$

    Логарифмическая функция, её свойства и график

    В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция
    y = logax
    где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1 \)

    Логарифмическая функция обладает свойствами:
    1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел.

    2) Множество значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел.

    3) Логарифмическая функция не является ограниченной.

    4) Логарифмическая функция y = logax является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если a > 1,
    и убывающей, если 0 1, то функция y = logax принимает положительные значения при х > 1,
    отрицательные при 0 1.

    Ось Oy является вертикальной асимптотой графика функции y = logax

    Отметим, что график любой логарифмической функции y = logax проходит через точку (1; 0).
    При решении уравнений часто используется следующая теорема:

    Логарифмическая функция y = logax и показательная функция y = a x , где a > 0, \( a \neq 1 \), взаимно обратны.

    Логарифмические уравнения

    Решить уравнение log2(x+1) + log2(x+3) = 3
    Предположим, что х — такое число, при котором равенство является верным, т.е. х — корень уравнения. Тогда по свойству логарифма верно равенство
    log2((x+1)(x+3)) = 3
    Из этого равенства по определению логарифма получаем
    (x+1)(x+3) = 8
    х 2 + 4х + 3 = 8, т.е. х 2 + 4x — 5 = 0, откуда x1 = 1, х2 = -5
    Так как квадратное уравнение является следствием исходного уравнения, то необходима проверка.
    Проверим, являются ли числа 1 и -5 корнями исходного уравнения.
    Подставляя в левую часть исходного уравнения х = 1, получаем
    log2(1+1) + log2(1+3) = log22 + log24 = 1 + 2 = 3, т.е. х = 1 — корень уравнения.
    При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения не имеет смысла, т.е. х = -5 не является корнем этого уравнения.
    Ответ x = 1

    Решить уравнение lg(2x 2 — 4x + 12) = lg x + lg(x+3)
    По свойству логарифмов
    lg(2x 2 — 4x + 12) = lg(x 2 + 3x)
    откуда
    2x 2 — 4x + 12 = x 2 + 3x
    x 2 — 7x + 12 = 0
    x1 = 3, х2 = 4
    Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
    Ответ x1 = 3, х2 = 4

    Решить уравнение log4(2x — 1) • log4x = 2 log4(2x — 1)
    Преобразуем данное уравнение:
    log4(2x — 1) • log4x — 2 log4(2x — 1) = 0
    log4(2х — 1) • (log4 x — 2) = 0
    Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения к нулю, получаем:
    1) log4 (2х — 1) = 0, откуда 2х — 1 = 1, х1 = 1
    2) log4 х — 2 = 0, откуда log4 = 2, х2 = 16
    Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
    Ответ x1 = 1, х2 = 16

    Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач Нахождение НОД и НОК Упрощение многочлена (умножение многочленов) Деление многочлена на многочлен столбиком Вычисление числовых дробей Решение задач на проценты Комплексные числа: сумма, разность, произведение и частное Системы 2-х линейных уравнений с двумя переменными Решение квадратного уравнения Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена Решение неравенств Решение систем неравенств Построение графика квадратичной функции Построение графика дробно-линейной функции Решение арифметической и геометрической прогрессий Решение тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений Вычисление пределов, производной, касательной Интеграл, первообразная Решение треугольников Вычисления действий с векторами Вычисления действий с прямыми и плоскостями Площадь геометрических фигур Периметр геометрических фигур Объем геометрических тел Площадь поверхности геометрических тел
    Конструктор дорожных ситуаций
    Погода — новости — гороскопы

    Нахождение значения выражения, примеры, решения.

    После того, как мы узнали что такое значение выражения, логичным будет разобраться с вопросом как найти значение выражения. Сейчас мы рассмотрим правила нахождения значений выражений. Начнем с числовых выражений, и будем продвигаться от самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа и соединяющие их знаки арифметических действий, и закончим общим случаем, когда в выражении, значение которого нужно найти, содержатся скобки, дроби, корни, степени и другие функции. В конце покажем, как находить значения буквенных выражений и выражений с переменными при выбранных значениях переменных. Всю теорию снабдим примерами с подробным описанием решений.

    Как найти значение числового выражения?

    Перевод условий задач на математический язык часто дает числовые выражения, то есть, выражения, составленные из чисел и знаков действий. Они могут быть как очень простыми, состоящими из чисел и знаков арифметических действий, так и достаточно сложными и громоздкими, содержащими скобки, степени, дроби, корни и т.п. Но составленное выражение зачастую является лишь промежуточным этапом решения задачи, а ответ заключается в значении составленного выражения. Так мы приходим к задаче — найти значение выражения.

    Разберемся с правилами, по которым вычисляются значения выражений.

    Простейшие случаи

    Знакомство с правилами нахождения значений выражений начнем со случаев, когда числовое выражение не содержит в своей записи ничего другого, кроме чисел и знаков арифметических действий. Эти случаи мы и назвали простейшими.

    Чтобы успешно находить значения таких выражений, нужно уметь выполнять действия с различными числами, а также иметь представление о порядке выполнения действий в выражениях без скобок.

    Итак, если числовое выражение составлено из чисел и знаков +, −, · и :, то по порядку слева направо нужно сначала выполнить умножение и деление, а затем – сложение и вычитание, что позволит найти искомое значение выражения.

    Приведем решение примеров для пояснения.

    Вычислите значение выражения 14−2·15:6−3 .

    Чтобы найти значение выражения, нужно выполнить все указанные в нем действия в соответствии с принятым порядком выполнения этих действий. Вначале по порядку слева направо выполняем умножение и деление, получаем 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3 . Теперь также по порядку слева направо выполняем оставшиеся действия: 14−5−3=9−3=6 . Так мы нашли значение исходного выражения, оно равно 6 .

    Найдите значение выражения .

    В данном примере нам сначала нужно выполнить умножение 2·(−7) и деление с умножением в выражении . Вспомнив, как выполняется умножение чисел с разными знаками, находим 2·(−7)=−14 . А для выполнения действий в выражении сначала заменяем смешанное число обыкновенной дробью , после чего переходим от деления на дробь к умножению на обратное число , и выполняем умножение обыкновенных дробей: .

    Подставляем полученные значения в исходное выражение: .

    Осталось записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби , вспомнить правило вычитания отрицательных чисел , сгруппировать и сложить обыкновенные дроби , и сложить обыкновенную дробь с натуральным числом .

    Так мы нашли искомое значение выражения.

    .

    Со скобками

    Теперь разберемся, как найти значение выражения, содержащего в своей записи скобки, указывающие порядок выполнения действий. При этом сначала следует находить значение выражений в скобках, придерживаясь принятого порядка выполнения действий, а затем выполнять остальные действия, что приведет к искомому значению исходного выражения. Это правило перекликается с порядке выполнения действий в выражениях без скобокпорядком выполнения действий в выражениях со скобками.

    Покажем решение примера.

    Вычислите значение выражения 0,5·(0,75−0,05) .

    В данном примере для нахождения значения выражения нам нужно будет выполнять действия с десятичными дробями. Так как исходное выражение содержит скобки, то сначала нужно найти значение выражения в них, имеем 0,5·(0,75−0,05)=0,5·0,7 . Остается выполнить умножение: 0,5·0,7=0,35 .

    Аналогично находятся значения выражений, содержащих скобки в скобках. Удобно нахождение значения начинать со внутренних скобок и продвигаться к внешним.

    Найдите значение выражения 1+2·(1+2·(1+2·(1−1/4))) .

    Во внутренних скобках находится выражение 1−1/4 , его значение равно 3/4 . Подставив его в исходное выражение, оно примет вид 1+2·(1+2·(1+2·3/4)) . Опять вычисляем значение выражения во внутренних скобках, не забывая, что умножение выполняется перед сложением, 1+2·3/4=1+3/2=5/2 , и подставляем это значение в последнее выражение: 1+2·(1+2·5/2) . Остается найти значение выражения в скобках, после чего можно будет закончить вычисления: 1+2·(1+2·5/2)=1+2·6=13 .

    Запишем краткое решение:
    1+2·(1+2·(1+2·(1−1/4)))= 1+2·(1+2·(1+2·3/4))= 1+2·(1+2·(1+2·3/4))= =1+2·(1+2·5/2)= 1+2·6=13 .

    Итак, в нахождении значений выражений со скобками нет ничего сложного, главное – соблюдать последовательность выполнения действий, и не допускать вычислительных ошибок.

    Числовые выражения, значения которых требуется найти, могут в своей записи содержать различные знаки, в частности, корни. Как найти значение корня, под которым стоит число, объясняет материал статьи извлечение корней.

    А как быть, когда под знаком корня находится числовое выражение? Чтобы получить значение такого корня, нужно сначала найти значение подкоренного выражения, придерживаясь принятого порядка выполнений действий. Например, .

    В числовых выражениях корни следует воспринимать как некоторые числа, и корни целесообразно сразу заменить их значениями, после чего находить значение полученного выражения без корней, выполняя действия в принятой последовательности.

    Найдите значение выражения с корнями .

    Сначала найдем значение корня . Для этого, во-первых, вычислим значение подкоренного выражения, имеем −2·3−1+60:4=−6−1+15=8 . А во-вторых, находим значение корня .

    Теперь вычислим значение второго корня из исходного выражения: .

    Наконец, мы можем найти значение исходного выражения, заменив корни их значениями: .

    .

    Достаточно часто, чтобы стало возможно найти значение выражения с корнями, предварительно приходится проводить его преобразование. Покажем решение примера.

    Каково значение выражения .

    Мы не имеем возможности заменить корень из трех его точным значением, что не позволяет нам вычислить значение этого выражения описанным выше способом. Однако мы можем вычислить значение этого выражение, выполнив несложные преобразования. Применим формулу разности квадратов: . Учитывая свойства корней, получаем . Таким образом, значение исходного выражения равно 1 .

    .

    Со степенями

    Когда в выражении, значение которого мы находим, присутствуют степени, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий. Вычислению значений степеней чисел посвящена статья возведение в степень.

    Если основание и показатель степени являются числами, то их значение вычисляется по определению степени, например, 3 2 =3·3=9 или 8 −1 =1/8 . Встречаются также записи, когда основание и/или показатель степени являются некоторыми выражениями. В этих случаях нужно найти значение выражения в основании, значение выражения в показателе, после чего вычислить значение самой степени.

    Найдите значение выражения со степенями вида 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 .

    В исходном выражении две степени 2 3·4−10 и (1−1/2) 3,5−2·1/4 . Их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий.

    Начнем со степени 2 3·4−10 . В ее показателе находится числовое выражение, вычислим его значение: 3·4−10=12−10=2 . Теперь можно найти значение самой степени: 2 3·4−10 =2 2 =4 .

    В основании и показателе степени (1−1/2) 3,5−2·1/4 находятся выражения, вычисляем их значения, чтобы потом найти значение степени. Имеем (1−1/2) 3,5−2·1/4 =(1/2) 3 =1/8 .

    Теперь возвращаемся к исходному выражению, заменяем в нем степени их значениями, и находим нужное нам значение выражения: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6 .

    2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6 .

    Стоит заметить, что более распространены случаи, когда целесообразно провести предварительное упрощение выражения со степенями на базе свойств степени.

    Найдите значение выражения .

    Судя по показателям степеней, находящихся в данном выражении, точные значения степеней получить не удастся. Попробуем упростить исходное выражение, может быть это поможет найти его значение. Имеем

    .

    Степени в выражениях зачастую идут рука об руку с логарифмами, но о нахождении значений выражений с логарифмами мы поговорим в одном из следующих пунктов.

    Находим значение выражения с дробями

    Числовые выражения в своей записи могут содержать дроби. Когда требуется найти значение подобного выражения, дроби, отличные от обыкновенных дробей, следует заменить их значениями перед выполнением остальных действий.

    В числителе и знаменателе дробей (которые отличны от обыкновенных дробей) могут находиться как некоторые числа, так и выражения. Чтобы вычислить значение такой дроби нужно вычислить значение выражения в числителе, вычислить значение выражения в знаменателе, после чего вычислить значение самой дроби. Такой порядок объясняется тем, что дробь a/b , где a и b – некоторые выражения, по сути представляет собой частное вида (a):(b) , так как черта дроби означает знак деления.

    Рассмотрим решение примера.

    Найдите значение выражения с дробями .

    В исходном числовом выражении три дроби и . Чтобы найти значение исходного выражения, нам сначала нужно эти дроби, заменить их значениями. Сделаем это.

    В числителе и знаменателе дроби находятся числа. Чтобы найти значение такой дроби, заменяем дробную черту знаком деления, и выполняем это действие: .

    В числителе дроби находится выражение 7−2·3 , его значение найти легко: 7−2·3=7−6=1 . Таким образом, . Можно переходить к нахождению значения третьей дроби.

    Третья дробь в числителе и знаменателе содержит числовые выражения, поэтому, сначала нужно вычислить их значения, а это позволит найти значение самой дроби. Имеем .

    Осталось подставить найденные значения в исходное выражение, и выполнить оставшиеся действия: .

    .

    Часто при нахождении значений выражений с дробями приходится выполнять упрощение дробных выражений, базирующееся на выполнении действий с дробями и на сокращении дробей.

    Найдите значение выражения .

    Корень из пяти нацело не извлекается, поэтому для нахождения значения исходного выражения для начала упростим его. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе первой дроби: . После этого исходное выражение примет вид . После вычитания дробей пропадут корни, что нам позволит найти значение изначально заданного выражения: .

    .

    С логарифмами

    Если числовое выражение содержит логарифмы, и если есть возможность избавиться от них, вычислив значение логарифмов, то это делается перед выполнением остальных действий. Например, при нахождении значения выражения log24+2·3 , логарифм log24 заменяется его значением 2 , после чего выполняются остальные действия в обычном порядке, то есть, log24+2·3=2+2·3=2+6=8 .

    Когда под знаком логарифма и/или в его основании находятся числовые выражения, то сначала находятся их значения, после чего вычисляется значение логарифма. Для примера рассмотрим выражение с логарифмом вида . В основании логарифма и под его знаком находятся числовые выражения, находим их значения: . Теперь находим логарифм, после чего завершаем вычисления: .

    Если же логарифмы не вычисляются точно, то найти значение исходного выражения может помочь предварительное его упрощение с использованием свойств логарифмов. При этом нужно хорошо владеть материалом статьи преобразование логарифмических выражений.

    Найдите значение выражения с логарифмами .

    Начнем с вычисления log2(log2256) . Так как 256=2 8 , то log2256=8 , следовательно, log2(log2256)=log28=log22 3 =3 .

    Логарифмы log62 и log63 можно сгруппировать. Сумма логарифмов log62+log63 равна логарифму произведения log6(2·3) , таким образом, log62+log63=log6(2·3)=log66=1 .

    Теперь разберемся с дробью . Для начала основание логарифма в знаменателе перепишем в виде обыкновенной дроби как 1/5 , после чего воспользуемся свойствами логарифмов, что позволит нам получить значение дроби: .

    Осталось лишь подставить полученные результаты в исходное выражение и закончить нахождение его значения:

    .

    Как найти значение тригонометрического выражения?

    Когда числовое выражение содержит синус, косинус, тангенс, котангенс или арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и т.п., то их значения вычисляются перед выполнением остальных действий. Если под знаком тригонометрических функций стоят числовые выражения, то сначала вычисляются их значения, после чего находятся значения тригонометрических функций.

    Найдите значение выражения .

    Обратившись к статье нахождение значений тригонометрических функций, получаем и cosπ=−1 . Подставляем эти значения в исходное выражение, оно принимает вид . Чтобы найти его значение, сначала нужно выполнить возведение в степень, после чего закончить вычисления: .

    .

    Стоит отметить, что вычисление значений выражений с синусами, косинусами и т.п. зачастую требует предварительного преобразования тригонометрического выражения.

    Чему равно значение тригонометрического выражения .

    Преобразуем исходное выражение, используя тригонометрические формулы, в данном случае нам потребуются формула косинуса двойного угла и формула косинуса суммы:

    Проделанные преобразования помогли нам найти значение выражения.

    .

    Общий случай

    В общем случае числовое выражение может содержать и корни, и степени, и дроби, и какие-либо функции, и скобки. Нахождение значений таких выражений состоит в выполнении следующих действий:

    • сначала корни, степени, дроби и т.п. заменяются их значениями,
    • дальше действия в скобках,
    • и по порядку слева направо выполняется оставшиеся действия — умножение и деление, а за ними – сложение и вычитание.
    • Перечисленные действия выполняются до получения конечного результата.

      Найдите значение выражения .

      Вид данного выражения довольно сложен. В этом выражении мы видим дробь, корни, степени, синус и логарифм. Как же найти его значение?

      Продвигаясь по записи слева на право, мы натыкаемся на дробь вида . Мы знаем, что при работе с дробями сложного вида, нам нужно отдельно вычислить значение числителя, отдельно – знаменателя, и, наконец, найти значение дроби.

      В числителе мы имеем корень вида . Чтобы определить его значение, сначала надо вычислить значение подкоренного выражения . Здесь есть синус. Найти его значение мы сможем лишь после вычисления значения выражения . Это мы можем сделать: . Тогда , откуда и .

      Со знаменателем все просто: .

      Таким образом, .

      После подстановки этого результата в исходное выражение, оно примет вид . В полученном выражении содержится степень . Чтобы найти ее значение, сначала придется найти значение показателя, имеем .

      Итак, .

      .

      Если же нет возможности вычислить точные значения корней, степеней и т.п., то можно попробовать избавиться от них с помощью каких-либо преобразований, после чего вернуться к вычислению значения по указанной схеме.

      Рациональные способы вычисления значений выражений

      Вычисление значений числовых выражений требует последовательности и аккуратности. Да, необходимо придерживаться последовательности выполнения действий, записанной в предыдущих пунктах, но не нужно это делать слепо и механически. Этим мы хотим сказать, что часто можно рационализировать процесс нахождения значения выражения. Например, значительно ускорить и упростить нахождение значения выражения позволяют некоторые свойства действий с числами.

      К примеру, мы знаем такое свойство умножения: если один из множителей в произведении равен нулю, то и значение произведения равно нулю. Используя это свойство, мы можем сразу сказать, что значение выражения 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)· (45·36−2·4+456:3·43) равно нулю. Если бы мы придерживались стандартного порядка выполнения действий, то сначала нам бы пришлось вычислять значения громоздких выражений в скобках, а это бы заняло массу времени, и в результате все равно получился бы нуль.

      Также удобно пользоваться свойством вычитания равных чисел: если от числа отнять равное ему число, то в результате получится нуль. Это свойство можно рассматривать шире: разность двух одинаковых числовых выражений равна нулю. Например, не вычисляя значения выражений в скобках можно найти значение выражения (54·6−12·47362:3)−(54·6−12·47362:3) , оно равно нулю, так как исходное выражение представляет собой разность одинаковых выражений.

      Рациональному вычислению значений выражений могут способствовать тождественные преобразования. Например, бывает полезна группировка слагаемых и множителей, не менее часто используется вынесение общего множителя за скобки. Так значение выражения 53·5+53·7−53·11+5 очень легко находится после вынесения множителя 53 за скобки: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58 . Непосредственное вычисление заняло бы намного больше времени.

      В заключение этого пункта обратим внимание на рациональный подход к вычислению значений выражений с дробями – одинаковые множители в числителе и знаменателе дроби сокращаются. Например, сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе дроби позволяет сразу найти ее значение, которое равно 1/2 .

      Нахождение значения буквенного выражения и выражения с переменными

      Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных. То есть, речь идет о нахождении значения буквенного выражения для данных значений букв или о нахождении значения выражения с переменными для выбранных значений переменных.

      Правило нахождения значения буквенного выражения или выражения с переменными для данных значений букв или выбранных значений переменных таково: в исходное выражение нужно подставить данные значения букв или переменных, и вычислить значение полученного числового выражения, оно и является искомым значением.

      Вычислите значение выражения 0,5·x−y при x=2,4 и y=5 .

      www.cleverstudents.ru