Полезные статьи

Приведение дробей к общему знаменателю правило

Приведение дробей к общему знаменателю правило

Рассчитать Очистить

  • \begin \end
  • Калькулятор приведет дроби к наименьшему общему знаменателю. Для приведение дробей к общему знаменателю необходимо указать количество дробей и ввести дроби.

    В случае если введены сокращаемые дроби — калькулятор сократит дроби, прежде чем начать приводить их к общему знаменателю.

    Нажмите кнопку рассчитать и калькулятор укажет как привести дроби к наименьшему общему знаменателю.

    Приведение дробей к общему знаменателю

    Чтобы совершать операции с дробями часто требуется привести дроби к общему знаменателю. Рассмотрим процесс приведения двух дробей и к наименьшему общему знаменателю :

    • 1 Находим наименьшее общее кратное знаменателей: НОК(8, 12)=24. Число 24 является наименьшим общим знаменателем двух дробей, приведем обе дроби к данному знаменателю. Любые две дроби можно привести к одинаковому знаменателю.
    • 2 Вычисляем дополнительный множитель первой дроби . Умножаем числитель и знаменатель на дополнительный множитель 3, получаем дробь .
    • 3 Вычислим дополнительный множитель второй дроби . Умножаем числитель и знаменатель на дополнительный множитель 2, получаем дробь .
    • 4 В результате получим дроби и с одинаковым знаменателем равным 24.
    Пример Привести дроби и к наименьшему общему знаменателю

    .

    Примеры приведения дробей к общему знаменателю

    Рассмотрим на примере как привести дроби к наименьшему общему знаменателю.

    Пример Приведите дроби и к наименьшему общему знаменателю

    .

    Рассмотрим пример приведения нескольких дробей к наименьшего общего знаменателя нескольких. Для нахождения НОК нескольких чисел воспользуемся свойством: НОК(a, НОК(b, с)) = НОК(НОК(a, b), c)

    Пример Приведите несколько дробей , и к наименьшему общему знаменателю

    .

    Общее кратное знаменателей НОК(16, 20, 18)=720.

    calcs.su

    Приведение дробей к общему знаменателю означает выразить дроби в одинаковых частях единицы без изменения величины дроби.

    Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю.

    Чтобы привести дробь к наименьшему общему знаменателю, необходимо:

    1. сократить дроби;
    2. найти наименьшее общее кратное (НОК) всех знаменателей;
    3. для каждой дроби вычисляется дополнительный множитель как частное от деления НОК на знаменатель дроби;
    4. числитель и знаменатель дроби умножают на соответствующий дополнительный множитель.
    5. Наименьшее общее кратное нескольких чисел — это наименьшее из всех чисел, которое делится нацело на каждое из данных чисел.

      Задание. Привести дроби и к общему знаменателю.

      Решение. Каждая из дробей является несократимой, поэтому переходим к нахождению НОК знаменателей дробей — чисел 4 и 14. Для этого воспользуемся каноническими разложениями на простые множители:

      Получаем, что . Для нахождения НОК знаменателей из их канонических разложений выписываем все простые множители, которые входят хотя бы в одно из них. Из одинаковых простых множителей выбираем тот, который стоит в наибольшей степени. То есть в нашем случае имеем:

      НОК (4, 14)

      Вычисляем дополнительные множители к каждой из дробей, для этого найденный НОК делим соответственно на 4 и 14:

      Далее числитель и знаменатель первой дроби умножаем на дополнительный множитель, равный 7, а второй дроби — на 2, будем иметь:

      и

      Полученные дроби и уже имеют общий знаменатель, равный 28.

      Ответ. Дроби и с общим знаменателем:

      www.webmath.ru

      Как привести дроби к общему знаменателю

      Как привести алгебраические (рациональные) дроби к общему знаменателю?

      1) Если в знаменателях дробей стоят многочлены, нужно попытаться разложить эти многочлены на множители одним из известных способов.

      2) Наименьший общий знаменатель (НОЗ) состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени.

      Наименьший общий знаменатель для чисел устно ищем как наименьшее число, которое делится на остальные числа.

      3) Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый.

      4) Числитель и знаменатель первоначальной дроби умножаем на дополнительный множитель.

      Рассмотрим примеры приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

      Чтобы найти общий знаменатель для чисел, выбираем большее число и проверяем, делится ли оно на меньшее. 15 на 9 не делится. Умножаем 15 на 2 и проверяем, делится ли полученное число на 9. 30 на 9 не делится. Умножаем 15 на 3 и проверяем, делится ли полученное число на 9. 45 на 9 делится, значит, общий знаменатель для чисел равен 45.

      Наименьший общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени. Таким образом, общий знаменатель данных дробей равен 45 bc (буквы принято записывать в алфавитном порядке).

      Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель:

      Сначала ищем общий знаменатель для чисел: 8 на 6 не делится, 8∙2=16 на 6 не делится, 8∙3=24 на 6 делится. Каждую из переменных нужно включить в общий знаменатель один раз. Из степеней берем степень с большим показателем.

      Таким образом, общий знаменатель данных дробей равен 24a³bc.

      Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, нужно новый знаменатель разделить на старый: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.

      Дополнительный множитель умножаем на числитель и знаменатель:

      Многочлены, стоящие в знаменателях данных дробей, нужно разложить на множители. В знаменателе первой дроби — полный квадрат разности: x²-18x+81=(x-9)²; в знаменателе второй — разность квадратов: x²-81=(x-9)(x+9):

      Общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени, то есть равен (x-9)²(x+9). Находим дополнительные множители и умножаем их на числитель и знаменатель каждой дроби:

      Многочлены, стоящие в знаменателях, раскладываем на множители. В знаменателе первой дроби выносим за скобки общий множитель x, из второй — 4:

      Общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени, а значит, равен 4x(x-5).

      Находим дополнительные множители и умножаем их на числитель и знаменатель:

      Необходимость в приведении рациональных дробей к общему знаменателю в алгебре возникает при сложении и вычитании дробей. Как складывать и как вычитать дроби с разными знаменателями, рассмотрим в следующий раз.

      www.algebraclass.ru

      Приведение дробей к общему знаменателю

      Изначально я хотел включить методы приведения к общему знаменателю в параграф «Сложение и вычитание дробей». Но информации оказалось так много, а важность ее столь велика (ведь общие знаменатели бывают не только у числовых дробей), что лучше изучить этот вопрос отдельно.

      Итак, пусть у нас есть две дроби с разными знаменателями. А мы хотим сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. На помощь приходит основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:

      Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

      Таким образом, если правильно подобрать множители, знаменатели у дробей сравняются — этот процесс называется приведением к общему знаменателю . А искомые числа, «выравнивающие» знаменатели, называются дополнительными множителями .

      Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю? Вот лишь несколько причин:

    6. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. По-другому эту операцию никак не выполнить;
    7. Сравнение дробей. Иногда приведение к общему знаменателю значительно упрощает эту задачу;
    8. Решение задач на доли и проценты. Процентные соотношения являются, по сути, обыкновенными выражениями, которые содержат дроби.
    9. Есть много способов найти числа, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными. Мы рассмотрим лишь три из них — в порядке возрастания сложности и, в некотором смысле, эффективности.

      Умножение «крест-накрест»

      Самый простой и надежный способ, который гарантированно выравнивает знаменатели. Будем действовать «напролом»: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, а вторую — на знаменатель первой. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей. Взгляните:

      Задача. Найдите значения выражений:

      В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим:

      Да, вот так все просто. Если вы только начинаете изучать дроби, лучше работайте именно этим методом — так вы застрахуете себя от множества ошибок и гарантированно получите результат.

      Единственный недостаток данного метода — приходится много считать, ведь знаменатели умножаются «напролом», и в результате могут получиться очень большие числа. Такова расплата за надежность.

      Метод общих делителей

      Этот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он достаточно редко. Метод заключается в следующем:

      1. Прежде, чем действовать «напролом» (т.е. методом «крест-накрест»), взгляните на знаменатели. Возможно, один из них (тот, который больше), делится на другой.
      2. Число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.
      3. При этом дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать — в этом и заключается экономия. Заодно резко снижается вероятность ошибки.

      Заметим, что 84 : 21 = 4; 72 : 12 = 6 . Поскольку в обоих случаях один знаменатель делится без остатка на другой, применяем метод общих множителей. Имеем:

      Заметим, что вторая дробь вообще нигде ни на что не умножалась. Фактически, мы сократили объем вычислений в два раза!

      Кстати, дроби в этом примере я взял не случайно. Если интересно, попробуйте сосчитать их методом «крест-накрест». После сокращения ответы получатся такими же, но работы будет намного больше.

      В этом и состоит сила метода общих делителей, но, повторюсь, применять его можно лишь в том случае, когда один из знаменателей делится на другой без остатка. Что бывает достаточно редко.

      Метод наименьшего общего кратного

      Когда мы приводим дроби к общему знаменателю, мы по сути пытаемся найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей.

      Таких чисел очень много, и наименьшее из них совсем не обязательно будет равняться прямому произведению знаменателей исходных дробей, как это предполагается в методе «крест-накрест».

      Например, для знаменателей 8 и 12 вполне подойдет число 24, поскольку 24 : 8 = 3; 24 : 12 = 2 . Это число намного меньше произведения 8 · 12 = 96 .

      Наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей, называется их наименьшим общим кратным (НОК).

      Обозначение: наименьшее общее кратное чисел a и b обозначается НОК( a ; b ) . Например, НОК(16; 24) = 48 ; НОК(8; 12) = 24 .

      Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:

      Заметим, что 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3 . Множители 2 и 3 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), а множитель 117 — общий. Поэтому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

      Аналогично, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4 . Множители 3 и 4 взаимно просты, а множитель 5 — общий. Поэтому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

      Теперь приведем дроби к общим знаменателям:

      Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:

    10. Обнаружив одинаковые множители, мы сразу вышли на наименьшее общее кратное, что, вообще говоря, является нетривиальной задачей;
    11. Из полученного разложения можно узнать, каких множителей «не хватает» каждой из дробей. Например, 234 · 3 = 702 , следовательно, для первой дроби дополнительный множитель равен 3.
    12. Чтобы оценить, насколько колоссальный выигрыш дает метод наименьшего общего кратного, попробуйте вычислить эти же примеры методом «крест-накрест». Разумеется, без калькулятора. Думаю, после этого комментарии будут излишними.

      Не думайте, что таких сложных дробей в настоящих примерах не будет. Они встречаются постоянно, и приведенные выше задачи — не предел!

      Единственная проблема — как найти этот самый НОК. Иногда все находится за несколько секунд, буквально «на глаз», но в целом это сложная вычислительная задача, требующая отдельного рассмотрения. Здесь мы не будем этого касаться.

      www.berdov.com

      Приведение дробей к общему знаменателю.

      Общий знаменатель и дополнительный множитель.

      У дробей бывают различные или одинаковые знаменатели. Одинаковый знаменатель или по-другому называют общий знаменатель у дроби. Пример общего знаменателя:

      Пример разных знаменателей у дробей:

      Как привести к общему знаменателю дроби?

      У первой дроби знаменатель равен 3, у второй равен 13. Нужно найти такое число, чтобы делилось и на 3 и на 13. Это число 39.

      Первую дробь нужно умножить на дополнительный множитель 13. Чтобы дробь не изменилась умножаем обязательно и числитель на 13 и знаменатель.

      Вторую дробь умножаем на дополнительный множитель 3.

      Мы привели к общему знаменателю дроби:

      Наименьший общий знаменатель.

      Рассмотрим еще пример:

      Приведем дроби \(\frac<5><8>\) и \(\frac<7><12>\) к общему знаменателю.

      Общий знаменатель для чисел 8 и 12 могут быть числа 24, 48, 96, 120, …, принято выбирать наименьший общий знаменатель в нашем случае это число 24.

      Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби.

      Как найти наименьший общий знаменатель?
      Методом перебора чисел, на которое делиться знаменатель первой и второй дроби и выбрать из них самое наименьшее.

      Нам нужно дробь со знаменателем 8 умножить на 3, а дробь со знаменателем 12 умножить на 2.

      Если у вас сразу не получиться привести дроби к наименьшему общему знаменателю в этом ничего страшного нет, в дальнейшем решая пример вам может быть придется полученный ответ сократить.

      Общей знаменатель можно найти для любых двух дробей это может быть произведение знаменателей этих дробей.

      Например:
      Приведите дроби \(\frac<1><4>\) и \(\frac<9><16>\) к наименьшему общему знаменателю.

      Самый простой способ найти общий знаменатель – это произведение знаменателей 4⋅16=64. Число 64 это не наименьший общий знаменатель. По заданию нужно найти именно наименьший общий знаменатель. Поэтому ищем дальше. Нам нужно число, которое делиться и на 4, и на 16, это число 16. Приведем к общему знаменателю дроби, умножим дробь со знаменателем 4 на 4, а дробь со знаменателем 16 на единицу. Получим:

      Вопросы по теме:
      Любые ли две дроби можно привести к одному общему знаменателю?
      Ответ: да.

      К какому знаменателю принято приводить дроби?
      Ответ: к наименьшему общему знаменателю.

      Пример №1:
      Для дроби \(\frac<1><2>\) запишите равную дробь со знаменателем: а) 12 б) 18 в) 50?

      Решение:
      а) Число 2 нужно умножить на 6, чтобы получить 12. Следовательно, мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 6.

      б) Число 2 нужно умножить на 9, чтобы получить 18. Следовательно, мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 9.

      в) Число 2 нужно умножить на 25, чтобы получить 50. Следовательно мы всю дробь умножаем на дополнительный множитель 25.

      tutomath.ru