Полезные статьи

Правило на умножение с разными знаками

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения.

Одним из видов преобразования выражения является раскрытие скобок. В этой статье мы разберемся, что называют раскрытием скобок, подробно опишем правила раскрытия скобок и рассмотрим применение этих правил при решении примеров.

Навигация по странице.

Что называется раскрытием скобок?

Числовые, буквенные выражения и выражения с переменными бывают составлены с использованием скобок, которые могут указывать порядок выполнения действий, содержать отрицательное число и т.п. Бывает удобно перейти от этого выражения со скобками к тождественно равному выражению, которое уже не содержит этих скобок. К примеру, от выражения 2·(3+4) можно перейти к выражению без скобок вида 2·3+2·4 . Этот переход от выражения со скобками к тождественно равному выражению без скобок дает представление о раскрытии скобок.

В школьном курсе математики к раскрытию скобок подходят в 6 классе. На этом этапе под раскрытием скобок понимают избавление от скобок, указывающих порядок выполнения действий. А изучают раскрытие скобок при рассмотрении выражений, которые содержат:

  • знаки плюс или минус перед скобками, заключающими суммы и/или разности, например, (a+7) и −(−3+2·a−12−b) ;
  • произведение числа, одной или нескольких букв и суммы и/или разности в скобках, например, 3·(2−7) , (3−a+8·c)·(−b) или −2·a·(b+2·c−3·m) .
  • Однако ничто не мешает раскрытие скобок рассматривать немного шире. Почему бы не назвать раскрытием скобок переход от выражения, содержащего отрицательные числа в скобках, к выражению без скобок, например, переход от 5+(−3)−(−7) к 5−3+7 ? Или замена произведения выражений в скобках вида (a+b)·(c+d) на сумму a·c+a·d+b·c+b·d противоречит смыслу раскрытия скобок?

    Можно пойти еще дальше. Допустим, что в описанных выше выражениях вместо чисел и переменных могут быть любые выражения. В полученных таким способом выражениях тоже можно проводить раскрытие скобок. Для иллюстрации возьмем выражение , ему соответствует выражение без скобок вида .

    Итак, мы под раскрытием скобок будем понимать избавление от скобок, указывающих порядок выполнения действий, а также избавление от скобок, в которые заключены отдельные числа и выражения.

    И обратим внимание еще на один момент, касающийся особенностей записи решения при раскрытии скобок. Начальное выражение со скобками и результат, полученный после раскрытия скобок, удобно записывать в виде равенства. Например, выражение 3−(5−7) после раскрытия скобок принимает вид 3−5+7 , это наглядно отражает равенство 3−(5−7)=3−5+7 . При раскрытии скобок в громоздких выражениях возникает необходимость в записи промежуточных результатов, в этом случае решение удобно оформлять в виде цепочки равенств, к примеру, 5−(3−(2−1))=5−(3−2+1)=5−3+2−1 или 5−(3−(2−1))=5−3+(2−1)=5−3+2−1 .

    Правила раскрытия скобок, примеры

    В предыдущем пункте мы разобрались с тем, что называют раскрытием скобок. Пришло время поговорить о том, как оно выполняется. Для этого существуют правила раскрытия скобок, к обзору которых мы и приступаем.

    У одиночных чисел в скобках

    В выражениях можно встретить отрицательные числа в скобках, например, (−4) и 3+(−4) . Иногда можно встретить и положительные числа в скобках, к примеру, (4) и 3+(4) .

    Сначала сформулируем правило раскрытия скобок, в которые заключены одиночные положительные числа: пусть a – положительное число, тогда (a) заменяется на a , +(a) заменяется на +a и −(a) заменяется на −a .

    Например, число (5) запишется как 5 , выражение 3+(5) без скобок примет вид 3+5 , так как +(5) заменяется на +5 , а выражение 3+(−5) эквивалентно выражению 3−5 , так как +(−5) заменяется на −5 .

    Это правило продиктовано тем, что положительные числа принято записывать без скобок, скобки в этом случае излишни.

    Можно переходить к правилу раскрытия скобок, в которых содержатся одиночные отрицательные числа: +(−a) заменяется на −a , а −(−a) заменяется на +a , если же выражение начинается с отрицательного числа (−a) , записанного в скобках, то скобки, содержащие это число, просто опускаются, и вместо (−a) остается −a .

    Рассмотрим примеры. Возьмем простейшее выражение, состоящее из одного отрицательного числа в скобках, например, (−5) . Его можно записать без скобок как −5 . Аналогично, в выражении (−3)+0,5 скобки можно опустить, выражение примет вид −3+0,5 . Дальше рассмотрим выражение 4+(−3) , для избавления от скобок нам нужно согласно правилу заменить +(−3) на −3 , имеем 4−3 . Наконец, выражение −(−4)−(−3) после раскрытия скобок примет вид 4+3 , так как −(−4) и −(−3) заменяется на +4 и +3 , а положительное число +4 вначале выражения можно записать без знака плюс (об этом мы упоминали при знакомстве с положительными и отрицательными числами). Для закрепления материала приведем еще один пример. Выражение (−3,7)−(−2)+4+(−9) может быть записано без скобок как −3,7+2+4−9 .

    Отдельно заметим, что выражение 3·(−5) нельзя записать как 3·−5 , так как озвученное правило не говорит нам о том, на что заменяется отрицательное число в скобках со знаком умножить перед ними вида ·(−a) . О раскрытии скобок в подобных выражениях мы поговорим в следующих пунктах.

    Теперь поясним, на чем базируется приведенное правило раскрытия скобок.

    Первая часть правила следует из того, что разность a−b равна a+(−b) , так как в силу свойств действий с числами справедлива цепочка равенств (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a , которая в силу смысла вычитания доказывает, что a+(−b) есть ни что иное как разность a−b . Вторая часть правила следует из свойства противоположных чисел, которому соответствует формула −(−a)=a , а также правила вычитания отрицательного числа вида a−(−b)=a+b . Наконец, третья часть правила просто обусловлена особенностями записи отрицательных чисел, стоящих слева в выражении (о чем мы упоминали в разделе скобки для записи отрицательных чисел).

    Можно столкнуться с выражениями, составленными из числа, знаков минус и нескольких пар скобок. Приведенные выше правила позволяют избавиться от скобок в них. При этом удобно раскрытие скобок проводить, последовательно продвигаясь либо от внутренних скобок к внешним, либо наоборот – от внешних к внутренним. Для примера раскроем скобки в выражении − ( − ( ( −(5) ) ) ) , для наглядности пары скобок мы изобразили разными цветами. Если раскрывать скобки, продвигаясь от внутренних к внешним, то решение будет таким: − ( − ( ( −(5) ) ) ) =− ( − ( ( −5 ) ) ) =− ( − ( −5 ) ) =− ( 5 ) =−5 . Если двигаться в обратном направлении, то соответствующая цепочка равенств будет иметь вид − ( − ( ( −(5) ) ) ) = ( ( −(5) ) ) = ( −(5) ) =−(5)=−5 .

    Озвученные в этом пункте правила, можно использовать и в том случае, если под a и b понимать не только числа, а произвольные числовые или буквенные выражения, со знаком плюс впереди, которые не являются суммами или разностями (тогда −a и −b будут аналогичными выражениями, но со знаком минус впереди). Например, выражение −(−2·x)−(x 2 )+(−1/x)−(2·x·y 2 :z) после раскрытия скобок примет вид 2·x−x 2 −1/x−2·x·y 2 :z . Вот тому пояснение: −(−2·x) есть +2·x , а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x , −(x 2 )=−x 2 , +(−1/x)=−1/x и −(2·x·y 2 :z)=−2·x·y 2 :z .

    В произведениях двух чисел

    Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

    Пусть a и b – положительные числа. Тогда произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) заменяется на (a·b) , а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменяются на (−a·b) .

    Иными словами, умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

    Первая часть записанного правила раскрытия скобок напрямую следует из правила умножения отрицательных чисел. Вторая его часть является следствием правила умножения чисел с разными знаками.

    Аналогичное правило справедливо и для частного двух чисел, так как деление можно рассматривать как умножение на обратное число.

    Переходим к примерам.

    Начнем с примеров раскрытия скобок в произведениях и частных двух отрицательных чисел. Произведение двух отрицательных чисел −2 и вида можно заменить на , а окончательно раскрыть скобки можно на базе информации предыдущего пункта этой статьи, в итоге имеем . Аналогично, частное отрицательных чисел вида (−4):(−2) без скобок запишется как 4:2 .

    Вместо отрицательных чисел −a и −b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, не являющиеся суммами или разностями, например, произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п. Для примера, раскроем скобки в выражении . Согласно записанному выше правилу, получаем .

    Переходим к примерам раскрытия скобок в произведениях и частных двух чисел с разными знаками. Выражение (−3)·2 по озвученному выше правилу можно записать как (−3·2) , оно после окончательного раскрытия скобок примет вид −3·2 . Аналогично . Вот еще примеры раскрытия скобок при делении чисел с разными знаками: так (−5):2=(−5:2)=−5:2 и .

    Аналогичное правило применяется при умножении и делении выражений, имеющих разные знаки. Например, и .

    В произведениях трех и большего количества чисел

    Теперь от произведений и частных двух чисел перейдем к произведениям и частным с бо́льшим количеством чисел. Для раскрытия скобок, содержащих отрицательные числа, в таких выражениях следует руководствоваться следующим правилом:

    Если количество отрицательных чисел четно, то можно опустить скобки, заменив эти числа противоположными, после чего заключить полученное выражение в новые скобки; если же количество отрицательных чисел нечетно, то нужно опустить скобки, заменить эти числа на противоположные, поставить минус перед полученным выражением и заключить его в скобки.

    Например, произведение трех чисел 5·(−3)·(−2) содержит два отрицательных числа, так как 2 – четное число, то по озвученному правилу исходное выражение можно записать как (5·3·2) , а после окончательного раскрытия скобок оно примет вид 5·3·2 . А выражение (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1) содержит пять отрицательных чисел, 5 – нечетное число, поэтому (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)= (−2,5·3:2·4:1,25:1) , и после окончательного раскрытия скобок оно будет иметь вид −2,5·3:2·4:1,25:1 .

    Дадим обоснование приведенного правила. Во-первых, такие выражения можно переписать в виде произведения, заменив деление умножением на обратное число. Дальше каждое отрицательное число можно представить в виде произведения −1 и соответствующего положительного числа, то есть, каждое отрицательное число (−a) можно заменить на (−1)·a . Переместительное свойство умножения позволяет менять множители местами, что дает возможность все множители, равные −1 , перенести в начало выражения. Наконец, произведение четного числа минус единиц равно 1 , а нечетного – равно −1 , что объясняет постановку знака минус.

    Приведенное выше правило учитывает всю цепочку этих действий и значительно ускоряет процесс раскрытия скобок. Если бы мы его не использовали, то раскрытие скобок в выражении выглядело бы так:

    Это же правило позволяет раскрывать скобки в выражениях, представляющих собой произведения и частные выражений со знаком минус, не являющихся суммами и разностями. К примеру, выражение можно привести к выражению без скобок вида .

    Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак +

    В этом пункте мы запишем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, и эти скобки не умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. О раскрытии скобок, которые умножаются на число или выражение мы поговорим в одном из следующих пунктов.

    Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс или не стоит никакого знака, таково: скобки вместе с этим знаком опускаются, а знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. При этом если первое слагаемое в скобках записано без знака, то перед ним нужно поставить знак плюс.

    Рассмотрим примеры применения этого правила.

    Возьмем выражение (12−3,5)−7 . Здесь скобки опускаются, знаки слагаемых в скобках сохраняются, а перед первым слагаемым ставится плюс, получаем (12−3,5)−7=+12−3,5−7 . Здесь знак плюс перед первым слагаемым можно было не ставить, так как +12−3,5−7=12−3,5−7 . Абсолютно аналогично скобки раскрываются в выражении , имеем .

    Еще примеры: выражение 3+(−4+7) после раскрытия скобок примет вид 3−4+7 , а раскрытие скобок в выражении 3+(4+7) приведет нас к выражению 3+4+7 , здесь перед слагаемым 4 мы поставили знак плюс, так как оно является первым слагаемым в скобках и записано в них без знака.

    Для закрепления материала покажем еще один пример раскрытия скобок: .

    Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак −

    Переходим к раскрытию скобок, перед которыми стоит знак минус, и которые не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Дадим соответствующее правило.

    Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус: скобки вместе со знаком минус опускаются, а знаки всех слагаемых в скобках заменяются на противоположные.

    Выше мы уже сталкивались с выражениями вида −(a) и −(−a) , которые без скобок записываются как −a и a соответственно. Например, −(3)=3 , , и . Это частные случаи озвученного правила.

    Теперь рассмотрим примеры раскрытия скобок, когда в них заключены суммы или разности. Например, выражение −(−9+5) после раскрытия скобок примет вид 9−5 , здесь мы опустили скобки со знаком минус перед ним, заменив знаки слагаемых на противоположные. Еще пример: 5+2,2−(6−2/3−4,1+11)+2= 5+2,2−6+2/3+4,1−11+2 .

    Это же правило применяется при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, и которые содержат выражения с переменными. Для примера раскроем скобки в выражении с переменными вида , имеем .

    Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

    В двух предыдущих пунктах мы говорили о раскрытии скобок, которые не умножаются на какое-либо число или выражение. Сейчас мы как раз перейдем к раскрытию скобок в выражениях, в которых выражение в скобках умножается на число или выражение.

    Покажем примеры использования этого правила. Раскроем скобки в выражении (3−7)·2 . По записанному правилу получаем (3−7)·2=(3·2−7·2) , последние выражение по правилу раскрытия скобок, перед которыми не стоит никакого знака, принимает вид 3·2−7·2 . Еще пример: возьмем выражение , после раскрытия скобок получаем .

    Умножение скобки на скобку

    Используя правило из предыдущего пункта, можно получить правило раскрытия скобок при умножении скобки на скобку. Чтобы оно легко воспринялось, рассмотрим произведение двух скобок вида (a1+a2)·(b1+b2) .

    Так мы от произведения двух скобок пришли к сумме произведений каждого слагаемого из первой скобки на каждое слагаемое из второй скобки. По индукции это утверждение можно распространить на произвольное количество слагаемых в каждой скобке.

    Теперь можно дать формулировку правила умножения скобки на скобку. Оно звучит так: чтобы умножить одну сумму на другую, надо каждое слагаемое первой суммы умножить на каждое слагаемое второй суммы и сложить полученные произведения. Запишем соответствующую формулу:

    Для примера раскроем скобки в выражении (1+x)·(x 2 +x+6) , представляющим собой произведение двух сумм. Для этого записываем сумму произведений первого слагаемого 1 из первой скобки на каждое слагаемое x 2 , x и 6 из второй скобки, а также второго слагаемого x из первой скобки на каждое слагаемое x 2 , x и 6 из второй скобки, получаем (1+x)·(x 2 +x+6)= (1·x 2 +1·x+1·6+x·x 2 +x·x+x·6)= 1·x 2 +1·x+1·6+x·x 2 +x·x+x·6 .

    Стоит отдельно заметить, что если в скобках наряду со знаками плюс присутствуют знаки минус, то выражения в скобках перед использованием записанного выше правила нужно представить в виде сумм. Покажем это на примере.

    Раскроем скобки в выражении (1−x)·(3·x·y−2·x·y 3 ) . Перед использованием правила нужно выражения в скобках представить в виде сумм как (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y 3 )) . Теперь умножаем скобку на скобку: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y 3 ))= (1·3·x·y+1·(−2·x·y 3 )+ (−x)·3·x·y+(−x)·(−2·x·y 3 )) . Осталось раскрыть скобки в полученном выражении, используя правила из предыдущих пунктов, в итоге получаем 1·3·x·y−1·2·x·y 3 −x·3·x·y+x·2·x·y 3 .

    Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

    Раскрытие скобок в выражениях, которые представляют собой произведение трех и большего количества выражений в скобках, проводится последовательно. Сначала берутся два первых множителя, заключаются еще в одни скобки, и внутри этих скобок проводится раскрытие скобок по одному из уже известных правил. И этот процесс продолжается.

    Лучше разобраться с этим на примере. Раскроем скобки в выражении (2+4)·3·(5+7·8) . Это выражение представляет собой произведение трех множителей (2+4) , 3 и (5+7·8) . Раскрывать скобки придется последовательно. Для этого заключаем первые два множителя еще в одни скобки, для наглядности изобразим их другим цветом: (2+4)·3·(5+7·8)= ( (2+4)·3 ) ·(5+7·8) . Теперь используем правило умножения скобки на число, имеем ( (2+4)·3 ) ·(5+7·8)= ( 2·3+4·3 ) ·(5+7·8) . Осталось выполнить умножение скобки на скобку: ( 2·3+4·3 ) ·(5+7·8)= 2·3·5+2·3·7·8+4·3·5+4·3·7·8 .

    Понятно, что вместо чисел могут быть и переменные, и другие выражения.

    Скобка в натуральной степени

    Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

    Для примера преобразуем выражение (a+b+c) 2 . Сначала запишем его в виде произведения двух скобок (a+b+c)·(a+b+c) , теперь выполним умножение скобки на скобку, получаем a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c .

    Стоит отметить, что подобные преобразования более уместно называть возведением выражения в степень, нежели раскрытием скобок.

    Вот еще пример возведения выражения в скобках в третью степень:

    Также скажем, что для возведения сумм и разностей двух чисел в натуральную степень целесообразно применять формулу бинома Ньютона.

    Деление скобки на число и скобки на скобку

    В этом пункте мы покажем, как стоит раскрывать скобки в выражениях, в которых имеет место деление скобки на число или выражение.

    При делении скобки на число можно раскрыть скобки, разделив на это число каждое из заключенных в скобки слагаемых.

    К примеру, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2 . Вот еще пример раскрытия скобок при делении выражения на число: .

    Не менее удобно предварительно деление заменить умножением, после чего воспользоваться соответствующим правилом раскрытия скобок в произведении. Это правило позволяет раскрывать скобки и при делении скобки на скобку.

    Приведем примеры. Раскроем скобки в выражении . Заменим сначала деление умножением на обратное число, имеем . Осталось выполнить умножение скобки на число, получаем .

    Покажем еще пример, рассмотрев выражение, в котором содержится деление на скобку, вида . Заменяем деление умножением: . И осталось лишь выполнить умножение: .

    И прежде чем перейти к следующему разделу информации стоит сказать, что все перечисленные правила раскрытия скобок следуют из правил выполнения действий с числами, а также правил использования скобок в математике.

    Порядок раскрытия скобок

    Вот мы и добрались до раздела, который объясняет, как с помощью всей представленной выше информации выполняется раскрытие скобок в выражениях общего вида, то есть, в выражениях, содержащих и суммы с разностями, и произведения с частными, и скобки в натуральной степени.

    В таких выражениях порядок раскрытия скобок согласован с порядком выполнения действий:

    • сначала выполняется возведение скобок в натуральную степень,
    • дальше раскрываются скобки в произведениях и частных,
    • наконец, когда скобок в произведениях не остается, раскрываются скобки в суммах и разностях.
    • Осталось разобраться с порядком раскрытия скобок на примерах.

      Возьмем выражение (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7) . Раскрытие скобок нужно начинать с выражений 3·(−2):(−4) и 6·(−7) , после применения соответствующих правил раскрытия скобок, они примут вид (3·2:4) и (−6·7) . Подставляем эти результаты в исходное выражение: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)= (−5)+(3·2:4)−(−6·7) . Остается лишь закончить раскрытие скобок, в результате имеем −5+3·2:4+6·7 .

      Как Вы заметили, мы исходное выражение разбили на составные части, в каждой части провели раскрытие скобок по разобранным правилам, после чего собрали полученные результаты воедино, и пришли к требуемому результату.

      Раскрытие скобок в выражениях, содержащих скобки в скобках, удобно проводить, продвигаясь от внутренних скобок к внешним.

      В заключение статьи заметим, что раскрытие скобок в основном применяется при упрощении выражений, и в сложных выражениях раскрытие скобок проводится вместе с другими преобразованиями до получения нужного результата.

      www.cleverstudents.ru

      Презентации по математике 6 класс, скачать бесплатно

      Аннотация к материалу

      Презентация по математике для 6 класса помогут учителю улучшить математическую подготовку учеников, активизировать их познавательную деятельность, совершенствовать образовательный процесс. От традиционного преставления материала, когда использовалась только доска с мелом, а в лучшем случае несколько картинок, пожелтевших от времени, пора переходить к новым формам подачи теории и практических упражнений и заданий. Помогут в этом ИКТ, которые уже не являются новинкой даже в небольших школах. Мультимедийные или электронные пособия помогут школьнику тот же материал увидеть по-новому. Они дают шанс обратить внимание на формулы и чертежи, на запоминающиеся рисунки и понятные диаграммы.

      О высоких информационных технологиях говорят много и практически все. Учитель первым шагнул их осваивать. И сегодня не только информатики, но и педагоги, преподающие математику в 6 классе, создают презентации к урокам по учебникам Виленкина, Мордковича. Почему эти пособия так привлекают и взрослых, и детей, для которых они создаются? Все очевидно и очень просто: скачать презентации по математике для 6 класса бесплатно необходимо для того, чтобы трудные разделы и темы преподнести ученикам понятно, а непростую дисциплину, где постоянно надо считать, думать, рассуждать, сделать любимой.

      Немногие используют интерактивные пособия для занятий, которые создают самостоятельно. Более удобным является совершенно иной подход. Зачем открывать или делать то, что уже кто-то выполнил качественно и поделился результатом своего труда с коллегами? Поэтому предлагаем всем учителям, готовящим открытые уроки и факультативные занятия, ищущим материал для проведения самостоятельных и контрольных работ, скачать готовые презентации для 6 класса по математике и использовать их в своей работе.

      Время заставляет школьных учителей двигаться вперед, а это в свою очередь, вынуждает каждого педагога работать в современном ритме в дружбе с современной техникой и электронными пособиями.

      Презентация, в которой рассказывается о столбчатых диаграммах, может быть использована на уроке математики в 6 классе при изучении соответствующей темы. Кто-то с этим материалом уже немного знаком, так как на него обращается внимание еще в начальной школе в 3 – 4 классах, поэтому данное пособие не содержит теории. На его.

      Презентация, почти на каждой странице которой содержатся готовые диаграммы, станет замечательным пособием для урока математики в 6 классе. Можно ли подготовить данное занятие без электронного ресурса? Предположить сложно, может кто-то и сумеет начертить все необходимые чертежи на доске, хотя намного удобнее скачать предлагаемый ресурс, если учитель работает с учебником Зубаревой.

      Презентация содержит основные правила, которые сообщают школьникам свойства действий с рациональными числами. Пособие можно скачать для показа на уроке математики в 6 классе. Удобно иметь ресурс школьникам в своей коллекции, чтобы дома повторить теоретический материал при подготовке домашнего задания. На 9 слайдах предлагается знакомство со свойствами. Нельзя сказать даже, что.

      Презентация выполнена для обобщения и закрепления знаний учеников 6 класса о рациональных числах. Урок математики, который раньше у кого-то проходил только с использованием учебника Виленкина, теперь предлагается провести в виде сказочного путешествия. Оно не только запомнится детям, но и вовлечет их с головой в омут подготовленных заданий, которые придется выполнять.

      Презентацию на тему «Отношения и пропорция» можно скачать для урока математики в 6 класс. Материал можно использовать и на алгебре в 7 классе. Ее наполнение соответствует представлению темы в учебном пособии Дорофеевой. Используя эту разработку, можно не только новый материал изучить, но и закрепить его, выполнив несколько тематических заданий. .

      Эта достаточно объемная презентация поможет провести обобщающей в 6 классе по математике по теме: «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел». Работа наполнена грамотно подобранными заданиями, решая которые есть возможность повторить непростой материал и показать степень владения темой. Урок проводится по нескольким станциям, которые на уроке необходимо пройти, пролистав 21.

      Презентация на 20 слайдах предлагает материал для закрепления на уроке математики в 6 классе темы «Сложение и вычитание чисел с разными знаками». Предполагается, что материал будут использоваться в дополнение к учебнику Виленкина, когда изучается большой раздел о действиях с положительными и отрицательными числами. Вместе с электронным ресурсом в помощь учителю.

      Презентация выполнена для рассмотрения темы «Раскрытие скобок» на уроке математики в 6 классе. Пособие может быть использовано при изучении нового материала по учебнику Виленкина. Учебное занятие будет проходить намного интереснее и организованнее, когда школьники обращаются не только к книге, но и к другим источникам знаний. В данном случае учащимся.

      Презентация поможет ввести понятие «отношения двух чисел» на уроке математики в 6 классе. Электронное пособие вместе с учебником Зубарева, Мордковича или Виленкина будет хорошим тандемом при проведении учебного занятия, на котором школьникам будет интересно учиться, а учителю легко работать и объяснять тему. На 19 слайдах предлагается достаточно материала, чтобы.

      Час занимательной математики с презентацией – это увлекательное внеклассное мероприятие в 6 классе. Тема в пособии раскрывается довольно интересная и понятная «Координатная плоскость». Учащиеся уже знакомы с тем, как определяются координаты, поэтому на занятии они будут совершенствовать свои знания и соревноваться. Это весело, интересно, однако учитель преследует при этом и.

      Презентация знакомит учеников 6 класса с пропорциональностью величин. Скачать пособие можно для сопровождения занятия по учебнику Мордковича. Ученикам будет интересно изучить материал дома при подготовке к следующему уроку. На 17 слайдах предлагается ряд заданий и теоретический материал для изучения темы: вопросы для устной работы; задача на.

      Презентация призвана раскрыть ученикам 6 класса суть понятия прямая пропорциональность и показать, как выглядит ее график. Использовать работу можно не только на математике, но и в 7 классе при изучении нового материала или при сравнении графиков прямой и обратной пропорциональности при проведении повторения на уроке алгебры. Главным объектом разработки становятся.

      Презентация предлагает дополнительный материал для закрепления темы «Прямая и обратная пропорциональность». Использоваться пособие будет на уроке математики (алгебры) в 6 классе. Разработан ресурс для тех классов, которые работают с учебником Виленкина. Учебное занятие будет проводиться в соответствии с определенным в пособии планом, а помогут в этом задания, расположенные на.

      Презентация дает представление школьникам о пропорции. Встречается это понятие очень широко, поэтому на уроке математики в 6 классе школьникам предстоит окунуться в историю, погрузиться в строительство и даже рассмотреть конструкцию головы человека, так как всюду в этих местах присутствует указанная тема. Кроме того необходимо отвести время и на решение задач.

      Презентация на тему «Подобные слагаемые» будет использоваться учителями для объяснения нового материала на уроке математики в 6 классе. В работе использованы игровые технологии и много практического материала, с которым детям будет интересно изучать тему и выполнять задания. Скачать разработку могут все, кто работает с использованием ИКТ. На 12 слайдах.

      В презентации представлен материал для закрепления темы «Приведение подобных слагаемых». Урок математики с учениками 6 – 7 класса предлагается построить с использованием проблемного обучения. Продолжая формирование вычислительных навыков, учитель сможет показать, как работать с подобными слагаемыми. Причем делать это школьники будут сначала под руководством педагога, а, обретя навыки, и самостоятельно.

      Презентация к уроку математики в 6 классе поможет разобраться с НОК. Школьники изучают это понятие по учебнику Мордкович, хотя некоторым термин уже известен с 5 класса, так как тематические занятия с учащимися проводились в рамках изучения факультатива. Используя ресурс, учителю удастся решить несколько задач и достигнуть целей: познакомить.

      Презентация поможет организовать заседание клуба знатоков на уроке математики в 6 классе при изучении темы «Коэффициент». Материал лучше скачать для обобщающего урока, когда основные понятия уже усвоены, а на занятии предстоит отшлифовать умения использовать полученные знания при решении примеров на вычисления. Игра проходит по следующему плану: представление.

      Презентация на тему «Координатная плоскость» выполнена учителем для проведения урока математики (алгебры) в 6 или 7 классе. Материала подобрано немного, но весь он носит практическую направленность и дополнит учебник Виленкина. Благодаря этому учителю удастся научить работать школьников с прямоугольной системой координат на плоскости: строить систему координат; отмечать.

      Презентация предлагает не обычный скучный урок математики, а интересное внеклассное мероприятие по математике, которое можно провести с учениками 6 – 7 класса. Это математическая «Своя игра». Как только школьники слышат ее название, у них тут же возникает желание проверить свои знания, посоревноваться, отойти от обыденности и взглянуть на предмет по-новому.

      Презентация научит школьников, как используя координатную прямую выполнять сложение чисел. Именно такую тему иллюстрирует указанное пособие, которое насыщено чертежами, схемами. Здесь же примеры и задачи, которые пригодятся на уроке математики в 6 классе, когда речь пойдет о системе координат. Начинается изучение темы с постановки проблемы: имеется термометр, но температура.

      Презентация представляет самую распространенную, любимую у учителей и учащихся игру по математике «Математический КВН». Ее могут скачать те, кто готовят внеклассное мероприятие в 6, 7, 8 классе. Не пройдите мимо, если предстоит предметная неделя в школе. Даже на обычном факультативе детям можно доставить радость, организовав КВН по математике. Так как.

      Викторина по математике с презентацией способствует формированию у учащихся вычислительных навыков, логического мышления. Она повышает интерес к предмету и стимулирует его самостоятельное изучение. Скачать пособие можно для использования при проведении математической недели в 6, 7, 8 классе. Хотите, чтобы дети подружились с предметом, который обожал Пифагор и Ломоносов, не упустите.

      Презентация представлена учителем Артамоновй Л. В. В работе раскрывается тема «Положительные и отрицательные числа». Материал подобран с учетом программы по математике для 6 класса. Скачать его можно для любого тематического занятия без учета УМК. Учащиеся уже знают о натуральных и дробных числах. На этом занятии они познакомятся с новой.

      Презентация выполнена Привальцевой Е. И., которая не один год преподает математику с лицее и хорошо знает, как рассказать о графиках школьникам, чтобы они с первого занятия разобрались с темой и наглядно представили те чертежи, которые им в дальнейшем придется чертить. Скачать пособие можно для уроков в 6 классе. На.

      Интерактивная презентация выполнена с учетом программных требований к изучению темы «Проценты» и может использоваться в качестве наглядности на уроке математики в 5 — 6 классе. В пособии подобрано много материала для знакомства с теоретической частью. Еще больше времени на уроке будет отведено решению простейших задач на проценты, переводу десятичных чисел.

      Презентация будет продемонстрирована на уроке математики в 6 классе вместе с учебником Виленкина при знакомстве с вычитанием и сложением положительных и отрицательных чисел. Тема несложная, но требует внимания, поэтому слайды помогут сконцентрироваться школьникам и запомнить основные правила, которые предстоит знать наизусть, чтобы использовать в работе при дальнейшем при изучении различных.

      Презентация содержит правила и практические задания для изучения действий с рациональными числами. Материал пригодится для работы на уроке математики в 6 классе. Все упражнения будут интересны детям. Они не только научат быстро и правильно считать, но и поддержат интерес к предмету, заставят на изучение правил взглянуть по-новому. Хотите, чтобы обычная.

      Презентация научит сравнению рациональных чисел. Тема должна быть изучена на уроке математики в 6 классе и электронное пособие будет помогать ее усвоению. Вместе с учителем школьники будут открывать, как с использованием прямой сравнивать числа с одинаковыми и разными знаками. Чтобы учить материал было интересно, предлагается использовать ленту времени. А это.

      Презентация на 17 красочных слайдах выполнена опытным учителем для использования в качестве наглядности на уроке математики. Разработку разумно показать в 6 классе в самом начале учебного года, когда требуется повторить то, что было изучено в 5 классе. Пособие наполнено интересными занимательными заданиями, которые ученики будут выполнять, соревнуясь командами. Проведение обобщающего.

      Презентация сориентирована на применение на уроке математики в 6 классе. Учителю будет легко работать с материалом, показ слайдов не вызовет трудностей. Наглядный материал поможет педагогу на всех этапах урока. Содержание электронного пособия устремлено на знакомство учеников с новой темой. Использование разработки разрешит сформировать у шестиклассников умение рассуждать, используя логику, решать.

      Презентация расскажет и наглядно покажет ученикам 6 класса, что такое НОД. Используя материал, учитель на уроке математики в 6 классе сможет отработать алгоритм нахождения наименьшего общего делителя для двух чисел и наименьшего общего кратного. Рассмотрев правила нахождения НОК и НОД, школьники проработают определения и закрепят полученные знания, решая примеры. В.

      Презентация может разнообразить работу учителя с учащимися на уроке математики в 6 классе. Мультимедийный ресурс будет сопутствовать на протяжении всего занятия. Все задания, собранные на 23 слайдах, сосредоточены на развитии у школьников внимания, логики и нестандартного мышления. Электронное пособие поможет учителям формировать у детей интерес к изучению этого предмета. Содержание.

      Презентация поможет учителю рассказать школьникам о том, что собой представляет решето Эратосфена. Материал изучается при рассмотрении простых чисел. Увидеть наглядность, помогающую определить ряд простых чисел, школьникам и интересно, и крайне полезно. Им не надо будет проверять, имеет ли число делители кроме единицы и себя. Они запомнят эти числа и будут.

      Презентация знакомит учащихся с десятичными дробями. Это особая группа чисел, изучаемых на уроках математики в 5 – 6 классе. Затем она будет продолжена в старших классах, поэтому учителю необходимо продумать занятие и построить его так, чтобы каждый учащийся получил максимум знаний. Чтобы все цели были достигнуты, предлагаем скачать данный электронный.

      Презентация знакомит с основными правилами умножения и деления рациональных чисел. Этот материал весьма актуален. Его знание пригодится в дальнейшем практически на каждом уроке. Чем раньше усвоят школьники, что получается при умножении минуса на минус, минуса на плюс и другие варианты, встречаемые в примерах, тем более продуктивной будет их работа на.

      Презентация выполнена для учеников средней школы. Имея ее на уроке математики в 6 классе, можно рассмотреть признаки делимости чисел на 2, 4, 10, 5, 3, 9. Материал привлекает своей новизной и заинтересовывает необычностью. Школьникам обязательно понравится применять его на практике, поэтому скачать пособие может каждый учитель, невзирая в каком классе.

      Презентация окажет помощь при обобщении и закреплении темы «Делимость натуральных чисел». На обобщающем уроке математики, который можно провести в 5 – 6 классе, школьники вспомнят все правила делимости, изученные ранее, и разберут новые упражнения. Разработка выполнена на 49 слайдах. Кроме тематического материала, который позволит работать с конкретным разделом, школьники.

      Презентация позволит ввести понятие «противоположные числа», используя перед глазами детей готовые чертежи координатной прямой. Материал составлен с учетом возрастных особенностей учащихся 5 – 6 класса, поэтому будет замечательной наглядностью для урока математики. На 13 слайдах предлагается разнообразный материал для занятия. Кроме того в помощь учителю можно скачать готовый конспект.

      Презентация на тему «Сложение отрицательных чисел» поможет отработать материал на уроке математики в 6 классе. Пособие могут скачать те, кто работает с учебником Виленкина. Однако эта рекомендация вовсе не накладывает ограничения на использования ресурса педагогами, работающими с другими программами. Итак, ресурс удобен для использования в любом классе. На 26 слайдах.

      В самом начале электронной презентации даются 2 примера, проанализировав которые, ученики 6 класса на уроке смогут подойти к составлению определения, что собой представляет отношение чисел и величин в математике и как оно используется в жизни. Далее дается определение этого термина и вновь для закрепления материала приведены задачи на деление числа.

      Презентация научит, как проводится разложение чисел на простые множители. Хотите, пособие можно использовать на уроках математики в 5 – 6 классе, а если есть необходимость, то школьники будут изучать материал самостоятельно, изучая страничку за страничкой дома. Материал кажется понятным, когда он объясняется доступно. Именно это правило легло в основу оформления.

      Мультимедийная презентация создана для урока математики в 6-ом классе для коллективного с учителем рассмотрения темы «Упрощение выражений». Работа будет использоваться на протяжении всего занятия, поэтому она поможет провести полноценный урок изучения нового материала. На 17 слайдах предлагается рабочий материал и наглядность, теоретические сведения и иллюстрации: цепочка круговых примеров.

      Презентация представляет проект ученика 6 класса на тему «Математика и космос». Ее автор – Апанин Виктор, который глубоко изучил вопрос и представил материал тезисно. Использовать разработку можно для проведения открытого урока в 4 – 6 классе или для просмотра на факультативном, внеклассном занятии при проведении предметной недели или накануне Дня.

      Презентация, выполненная для проведения урока математики в 6 классе, поможет учителю закрепить знания о делении обыкновенных дробей. Материал изучается по всем УМК, поэтому не может быть ограничений для применения данного электронного пособия. Учебное занятие на вышеуказанную тему начинается со знакомства с исторической справкой, которая рассказывает, как появились дроби, кто.

      Презентация поможет разобраться с тем, как проводится решение уравнений. Материал подобран с учетом программы для 6 класса. На уроке математики школьникам будет не только интересно выполнять предлагаемые задания. Они смогут на практике отработать и закрепить способы решения линейных уравнений, что пригодится им в дальнейшем, когда они будут переходить к работе.

      Презентация поможет закрепить и обобщить знания детей, которые ими были получены при изучении темы «Умножение и деление положительных и отрицательных чисел». На этом уроке математики учащиеся 6 класса будут правильно умножать и делить числа с разными знаками. В результате они не только тему повторят и вычислительные навыки сформируют, но и.

      Презентация представляет набор интересных дидактических игр, которые каждый учитель может использовать на уроках математики или на факультативных занятиях в 5, 6, 7 классе. Такой игровой материал всегда с радостью воспринимается детьми. Не важно, какова была тема урока и какое пособие лежит на столе. Хотите внести разрядку или заставить детей сосредоточиться.

      Презентация поможет сформировать на уроке математики в 6 классе первое представление о функции и способах ее задания. Усвоив теоретический и практический материал, школьники смогут воспользоваться им в нестандартной ситуации, которая может возникнуть при написании самостоятельной или контрольной работы, при сдаче экзамена. Первый слайды разработки представляют семь определений, обязательных для запоминания.

      Презентация на тему «Граф и его элементы» выполнена для демонстрации на математике. Ее можно показать ученикам 6 класса на уроке или факультативе. Предложенный материал изложен на 29 слайдах. Он доступно и последовательно раскрывает непростую тему. Электронная разработка целиком готова и содержит красиво оформленные слайды, пособие не имеет музыкального сопровождения, но.

      www.klassnye-chasy.ru