Полезные статьи

Правило нахождение числа по проценту

Нахождение процентного отношения двух чисел

Правило. Чтобы найти процентное отношение двух чисел , нужно одно число разделить на другое, а результат умножить на 100.

Например, вычислить, сколько процентов составляет число 52 от числа 400.

По правилу: 52 : 400 * 100 — 13 (%).

Обычно такие отношения встречаются в задачах, когда величины заданы, а нужно определить, на сколько процентов вторая величина больше или меньше первой (в вопросе задачи: на сколько процентов перевыполнили задание; на сколько процентов выполнили работу; на сколько процентов снизилась или повысилась цена и т. д.).

Решения задач на процентное отношение двух чисел редко предполагают только одно действие. Чаше решение таких задач состоит из 2-3 действий.

1. Завод должен был за месяц изготовить 1 200 изделий, а изготовил 2 300 изделий. На сколько процентов завод перевыполнил план?

1-й вариант
Решение:
1 200 изделий — это план завода, или 100% плана.
1) Сколько изделий изготовил завод сверх плана?
2 300 — 1 200 = 1 100 (изд.)

2) Сколько процентов от плана составят сверхплановые изделия?
1 100 от 1 200 => 1 100 : 1 200 * 100 = 91,7 (%).

2-й вариант
Решение:
1) Сколько процентов составляет фактический выпуск изделий по сравнению с плановым?
2 300 от 1 200 => 2 300 : 1 200 * 100 = 191,7 (%).

2) На сколько процентов перевыполнен план?
191,7 — 100 = 91,7 (%)
Ответ: на 91,7%.

2. Урожайность пшеницы в хозяйстве за предыдущий год составила 42 ц/га и была занесена в план следующего года. В следующем году урожайность снизилась до 39 ц/га. На сколько процентов был выполнен план следующего года?

1-й вариант
Решение:

42 ц/га — это план хозяйства на этот год, или 100% плана.

1) На сколько снизилась урожайность по сравнению
с планом?
42 — 39 = 3 (ц/га)

2) На сколько, процентов план не довыполнен?
3 от 42 => 3 : 42 * 100 = 7.1 (%).

3) Насколько процентов выполнен план этого года?

2-й вариант
Решение:
1) Сколько процентов составляет урожайность этого гола по сравнению с планом?
39 от 42 39 : 42 • 100 — 92,9 (%).
Ответ: 92,9%.

shkolo.ru

5.5. Учет товаров

Товары — это часть материально-производственных запасов организации, приобретенная или полученная от других юридических и физических лиц и предназначенная для продажи или перепродажи без дополнительной обработки.

Товарно-материальные ценности, приобретенные для продажи, учитываются на активном счете 41 «Товары». В настоящее время торговые организации могут вести учет товаров по покупным ценам (при оптовой торговле) и по продажным ценам (в розничной торговле и общественном питании). Именно поэтому организация учета товаров на предприятиях розничной торговли и оптовой торговли может несколько различаться.

Организации оптовой торговли в соответствии с Планом счетов бухгалтерского учета результат от продажи товаров определяют на счете 90 «Продажи» как разницу между продажной и покупной ценами товара и издержками обращения. Организации розничной торговли помимо счета 41 «Товары» используют счет 42 «Торговая наценка» для доведения покупной цены товаров до продажной.

Счет 41 «Товары» предназначен для обобщения информации о наличии и движении товарно-материальных ценностей, приобретенных в качестве товаров для продажи. Этот счет используется в основном снабженческими, сбытовыми и торговыми организациями, а также организациями общественного питания.

В промышленных и других производственных организациях счет 41 «Товары» применяется в случаях, когда какие-либо изделия, материалы, продукты приобретаются специально для продажи или когда стоимость готовых изделий, приобретаемых для комплектации на промышленных предприятиях, не включается в себестоимость выпускаемой продукции, а подлежит возмещению покупателями отдельно.

Важным критерием организации учета товаров на счете 41 «Товары» является фактическое нахождение их на складе организации, т.е. фактическое нахождение под контролем ее материально ответственных лиц. Отсюда передача товаров сторонним лицам с сохранением при этом права собственности на них требует, с одной стороны, отражения их на балансе, а с другой — списания со счета 41 «Товары». Планом счетов бухгалтерского учета для отражения товаров, переданных сторонним лицам во исполнение договора поставки или на реализацию по договорам комиссии, поручения или агентскому договору, выделяется специальный счет 45 «Товары отгруженные».

Товары, переданные для переработки другим организациям, не списываются со счета 41 «Товары», а учитываются обособленно.

Товары, принятые на ответственное хранение, учитываются на забалансовом счете 002 «Товарно-материальные ценности, принятые на ответственное хранение». Товары, принятые на комиссию, учитываются на забалансовом счете 004 «Товары, принятые на комиссию».

К счету 41 «Товары» могут быть открыты субсчета:

41-1 «Товары на складах» — учитывается наличие и движение товарных запасов, находящихся на оптовых и распределительных базах, складах, в кладовых организаций, оказывающих услуги общественного питания и т.п.;

41-2 «Товары в розничной торговле» — учитывается наличие и движение товаров, находящихся в организациях, занятых розничной торговлей (в магазинах, палатках, ларьках, киосках и т.п.) и в буфетах организаций, занятых общественным питанием. На этом же субсчете учитывается наличие и движение стеклянной посуды (бутылок, банок и др.) в организациях, занятых розничной торговлей, и в буфетах организаций, оказывающих услуги общественного питания;

41-3 «Тара под товаром и порожняя» — учитывается наличие и движение тары под товарами и тары порожней (кроме стеклянной посуды в розничных организациях и в буфетах организаций, оказывающих услуги общественного питания);

41-4 «Покупные изделия» — организации, осуществляющие промышленную и иную производственную деятельность, пользующиеся счетом 41 «Товары», учитывают наличие и движение товаров (применительно к порядку, предусмотренному для учета производственных запасов).

Товары могут поступать от поставщиков, комитентов, спонсоров, учредителей как вклад в уставный (складочный) капитал. Оприходование прибывших на склад товаров и тары отражается по дебету счета 41 в корреспонденции со счетом 60 «Расчеты с поставщиками и подрядчиками» по стоимости их приобретения (табл. 5.2). Организация, занятая розничной торговлей товаров по продажным ценам, одновременно с этой записью делает запись по дебету счета 41 и кредиту счета 42 «Торговая наценка» на разницу между стоимостью приобретения и стоимостью по продажным ценам (скидки, наценки).

Таблица 5.2 Типовая корреспонденция счетов по поступлению товаров

Аналитический учет по счету 41 «Товары» ведется по ответственным лицам, наименованиям (сортам, партиям, кипам),а в необходимых случаях и по местам хранения товаров.

Товары, являющиеся собственностью организации, согласно п. 5 ПБУ 5/01 принимаются к бухгалтерскому учету по фактической себестоимости. В разделе II данного ПБУ подробно излагается порядок определения фактической себестоимости товаров:

приобретенных за плату;

внесенных в счет вклада в уставный (складочный) материал;

приобретенных по договорам, предусматривающим исполнение обязательств (оплату) неденежными средствами.

Оценка стоимости товаров заключается в выборе учетной цены, т.е. цены, по которой приходуют и списывают товары. Исходя из предписаний ПБУ 5/01 возможны два варианта учетных цен на товары:

1) стоимость приобретения: полная (с учетом всех затрат); неполная (без затрат по заготовке и доставке);

2) продажная: полная стоимость приобретения плюс наценка; неполная стоимость приобретения плюс наценка. Этот вариант может быть только у организаций розничной торговли.

Продажа товаров регулируется различными видами договоров: поставки, розничной купли-продажи, комиссии, мены и др.

Для правильного определения выручки от продажи большое значение имеет определение момента реализации товаров, т.е. момента, с которого товары, отгруженные или отпущенные покупателю, считаются проданными. С точки зрения бухгалтерского учета момент реализации также можно определить как время, когда организация имеет право (и должна) кредитовать счет 90-1 «Выручка».

Для целей бухгалтерского учета момент реализации товаров совпадает с моментом перехода прав собственности на товары от продавца к покупателю.

Для целей обложения НДС моментом определения налоговой базы является ранняя из дат:

день отгрузки (передачи) товаров покупателю;

день оплаты товаров (при безналичных расчетах) — поступление средств за товары на счета в банках, а при расчете наличными деньгами — поступление денег в кассу.

Для целей обложения налогом на прибыль согласно ст. 271 НК РФ моментом реализации товаров признается день отгрузки товаров покупателю при условии перехода к нему права собственности на эти товары.

Но в виде исключения из этого правила ст. 273 НК РФ устанавливает, что для организаций, у которых в среднем за предыдущие четыре месяца сумма чистой выручки от реализации товаров (без НДС) не превышает один миллион рублей за каждый квартал, момент реализации товаров определяется по кассовому методу.

Организации розничной торговли, как было отмечено выше, могут вести учет товаров по покупным или по продажным ценам. Выбор способа следует закрепить в приказе об учетной политике. В первом случае по общему правилу товары учитываются в сумме так называемых фактических затрат на их приобретение, во втором — товары оцениваются в учете в ценах их предполагаемой продажи.

Большинство организаций предпочитают организовывать учет товаров по второму методу. При этом покупная стоимость товаров отражается на счете 41 «Товары», а разница между покупной ценой товаров (за минусом НДС) и их продажной ценой с НДС учитывается на счете 42 «Торговая наценка».

Счет 42 «Торговая наценка» пассивный, имеет кредитовое сальдо, которое показывает сумму торговой наценки, приходящуюся на остаток товаров, и предназначен для обобщения информации о торговых наценках (скидках, накидках) на товары в организациях розничной торговли, если их учет ведется по продажным ценам.

В организациях общественного питания на данном счете учитываются суммы торговых скидок и накидок на продукты питания и товары, находящиеся в кладовых, буфетах, на кухне, а также суммы наценок, прибавляемые в установленном размере к стоимости кухонной и буфетной продукции по продажным ценам.

Суммы скидок (накидок) в части, относящейся к реализованным товарам, сторнируются по кредиту счета 42 и дебету счета 90 «Продажи», субсчет 2 «Себестоимость продаж» (табл. 5.3).

Таблица 5.3 Типовая корреспонденция счетов по реализации товаров и учету торговой наценки

Суммы скидок (накидок) в части, относящейся к реализованным и отпущенным товарам со складов и баз, определяются согласно выписанным счетам-фактурам и списываются (сторнируются) в аналогичном порядке. Относящиеся к нереализованным товарам суммы скидок (накидок) уточняются на основании инвентаризационных описей путем определения полагающейся скидки (накидки) на товары в соответствии с установленными размерами.

В дальнейшем при реализации и списании товара сумма торговых наценок (скидок) по реализованным товарам исчисляется по среднему проценту.

Средний процент исчисляется ежемесячно следующим образом:

1) сальдо на начало месяца по счету 42 за вычетом оборота по дебету счета 42 складывается с суммой наценки, произведенной за текущий период;

2) сальдо товаров на начало месяца складывается с продажной ценой реализованных за отчетный период товаров;

3) отношение показателя, полученного в п. 1, к показателю, полученному в п. 2, умножается на 100%.

Сумма торговой наценки, приходящаяся на реализованные товары, определяется умножением продажной цены реализованных товаров на средний процент торговой наценки (скидки).

При списании стоимости недостающих и похищенных товарно-материальных ценностей суммы скидок (накидок), относящиеся к данным ценностям, отражаются записями по дебету счета 42 и кредиту счета 98 «Доходы будущих периодов» (субсчет 4 «Разница между суммой, подлежащей взысканию с виновных лиц, и балансовой стоимостью по недостачам ценностей»).

Отражение товаров по ценам продажи, как правило, предполагает только их стоимостной учет. Метод учета товаров по продажным ценам позволяет легко определить сумму реализованных товаров. Она будет полностью соответствовать сумме выручки, поступившей в кассу и зафиксированной счетчиками контрольно-кассовых машин при печатании чеков. Так же несложно определить учетный остаток товаров на любой момент времени, что немаловажно для организации контроля за их сохранностью.

Аналитический учет по счету 42 должен обеспечивать раздельное отражение сумм скидок (накидок) и разниц в ценах, относящихся к товарам на складах и базах, в организациях розничной торговли и к товарам отгруженным.

Таким образом, если в Главной книге организации розничной торговли имеется остаток по счету 41, то ему обязательно должен соответствовать и присутствовать остаток на счете 42.

Для обобщения информации о расходах, связанных с продажей товаров, то есть издержек обращения, в организациях торговли и общественного питания используют отдельный специальный счет 44 «Расходы на продажу». Учет издержек обращения в целях бухгалтерского учета регламентирован ПБУ 10/99 «Расходы организации».

Счет 44 «Расходы на продажу» активный, по дебету этого счета учитывают расходы на продажу с кредита соответствующих материальных, расчетных и денежных счетов; по кредиту счета эти расходы списываются на реализованный товар. Указанные издержки оформляются следующими бухгалтерскими записями (табл. 5.4).

Таблица 5.4 Типовая корреспонденция счетов по реализации товаров и учету торговой наценки

Аналитический учет по счету 44 ведут в ведомости учета общехозяйственных расходов, расходов будущих периодов и расходов на продажу по указанным выше статьям расходов.

По истечении каждого месяца расходы на продажу списывают на себестоимость проданной продукции. На отдельные виды продукции расходы относятся прямым путем, а при невозможности их прямого списания они распределяются пропорционально производственной себестоимости продукции, объему проданной продукции по оптовым ценам организации или другим способом.

Если в отчетном месяце продается только часть выпущенной продукции, то сумму расходов по продаже распределяют между проданной и непроданной продукцией.

В соответствии с ПБУ 10/99 организации торговли имеют право выбрать один из вариантов списания расходов по продажам:

полностью в текущем отчетном периоде;

пропорционально стоимости проданных товаров.

Здесь следует учитывать, что распределению подлежат только транспортные расходы. Все остальные расходы, связанные с продажей продукции, товаров, работ, услуг, ежемесячно списывают на стоимость проданной продукции (товаров, работ, услуг).

В торговых организациях сумма издержек обращения и производства, относящаяся к остатку товаров на конец месяца, исчисляется по среднему проценту издержек обращения и производства за отчетный месяц с учетом переходящего остатка на начало месяца в следующем порядке:

1) суммируются транспортные расходы на остаток товаров на начало месяца и произведенные в отчетном месяце;

2) определяется сумма товаров, реализованных в отчетном месяце, и сумма остатка товаров на конец месяца;

3) отношением определенной в п. 1 суммы издержек обращения и производства к сумме реализованных и оставшихся товаров (п. 2) определяется средний процент издержек обращения и производства по общей стоимости товаров;

4) умножением суммы остатка товаров на конец месяца на средний процент указанных расходов определяется их сумма, относящаяся к остатку нереализованных товаров на конец месяца.

На конец отчетного периода в соответствии с п. 22 ПБУ 5/01 товары отражаются в бухгалтерском балансе по стоимости, определяемой исходя из используемых способов оценки товаров при их выбытии (по себестоимости единицы, средней себестоимости, способу ФИФО). Исключением из этого правила являются товары, учитываемые по продажной стоимости.

В бухгалтерской отчетности касательно учета материально-производственных запасов подлежит раскрытию как минимум следующая информация:

способы оценки товаров;

последствия изменения способов оценки товаров;

стоимость товаров, переданных в залог;

величина и движение резервов под снижение стоимости материальных запасов.

Товары, морально устаревшие, полностью или частично потерявшие свои первоначальные качественные характеристики, в результате чего снизилась их рыночная стоимость, должны отражаться в бухгалтерском балансе за вычетом резерва под снижение стоимости материальных ценностей, который образуется за счет финансовых результатов организации.

www.consensus-audit.ru

Решение задач на проценты при подготовке к ОГЭ И ЕГЭ по математике

Решение задач по математике на применение основных понятий о процентах.

Задачи на проценты учат решать с 5 класса.

Решение задач этого типа тесно связано с тремя алгоритмами:

  • нахождение процента от числа,
  • нахождение числа по его проценту,
  • нахождение процентного отношения.
  • На уроках с учениками разбирают, что сотая часть метра — это сантиметр, сотая часть рубля – копейка, сотая часть центнера — килограмм. Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности. Потому для них было придумано специальное название – процент.

    Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра.

    Один процент – это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.

    Определение одного процента можно записать равенством: 1 % = 0,01 • а

    5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д.

    Как найти 1% от числа?

    Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

    Пример. Найти: 25% от 120.

    Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.

    Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

    Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%.

    Ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

    Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.

    Пример. При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

    66 : 60 = 1,1 — такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану. Запишем в процентах =110%.

    Пример. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

    1. 6+ 34 =40 (кг) – масса всего сплава.
    2. 34 : 40 = 0,85 = 85 (%) – сплава составляет медь.
    3. Пример. Слонёнок за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе на 10%. Остался ли за этот год его вес прежним? Если изменился, то на сколько процентов и в какую сторону?

    4. 100 – 20 = 80 (%) – после весны.
    5. 80 + 80 • 0,3 = 104 (%) – после лета.
    6. 104 – 104 • 0,2 = 83,2 (%) – после осени.
    7. 83,2 + 83,2 • 0,1 = 91,52 (%) – после зимы.
    8. Ответ: похудел на 8,48%.

      Пример. Оставили на хранение 20 кг крыжовника, ягоды которого содержат 99% воды. Содержание воды в ягодах уменьшилось до 98%. Сколько крыжовника получится в результате?

    9. 100 – 99 = 1 (%) = 0,01 – доля сухого вещества в крыжовнике сначала.
    10. 20 • 0,01 = 0,2 (кг) – сухого вещества.
    11. 100 – 98 = 2 (%) = 0,02 – доля сухого вещества в крыжовнике после хранения.
    12. 0,2 : 0,02 = 10 (кг) – стало крыжовника.
    13. Пример. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?

      Пусть цена товара х руб., тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е. 1,25х, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е.

      0,75 •1,25х= 0,9375х,

      тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к.

      х — 0,9375х = 0,0625х;
      0,0625 • 100% = 6,25%

      Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

      Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (А : В) • 100%.

      Пример. Найти число, если 15% его равны 30.

      х — данное число;
      0,15 • х = 300;
      х = 200.

      Пример. Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна?

      Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби).
      480 : 0,24= 2000 кг = 2 т

      Пример. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?

      1 кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е.
      1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е.
      10 кг : 0,05=20 кг.

      Пример. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

    14. 22 • 0,1 = 2,2 (кг) — грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого вещества);
    15. 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) — сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).

    Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь.

    В задачах на банковские расчёты обычно встречаются простые и сложные проценты. В чём же состоит разница простого и сложного процентного роста? При простом росте процент каждый раз исчисляется, исходя из начального значения, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения. При простом росте 100% – начальная сумма, а при сложном 100% каждый раз новые и равны предыдущему значению.

    Пример. Банк платит доход в размере 4% в месяц от величины вклада. На счет положили 300 тысяч рублей, доход начисляют каждый месяц. Вычислите величину вклада через 3 месяца.

  • 100 + 4 = 104 (%) = 1,04 – доля увеличения вклада по сравнению с предыдущим месяцем.
  • 300 • 1,04 = 312 (тыс. р) – величина вклада через 1 месяц.
  • 312 • 1,04 = 324,48 (тыс. р) – величина вклада через 2 месяца.
  • 324,48 • 1,04 = 337,4592 (тыс. р) = 337 459,2 (р)-величина вклада через 3 месяца.
  • Или можно пункты 2-4 заменить одним, повторив с детьми понятие степени: 300•1,043 =337,4592(тыс. р) = 337 459,2 (р) – величина вклада через 3 месяца.

    Ответ: 337 459,2 рубля

    Пример. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10% за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

    Пример. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20% дохода. Через сколько лет вложенная сумма удвоится?

    Далее в 6 классе решают подобного типа задачи уже с применением пропорции. На эту базу знаний и опираются, готовя учеников к итоговым экзаменам в 9 и 11 классах.

    Рассмотрим подобного плана задачи на конкретных примерах.

    Пример. (Вариант 1 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 -80с)

    Спортивный магазин проводит акцию. Любой джемпер стоит 400 рублей. При покупке двух джемперов – скидка на второй джемпер 75%. Сколько рублей придется заплатить за покупку двух джемперов в период акции?

    Согласно условию задачи получается, что первый джемпер покупается за 100 % его исходной стоимости, а второй за 100 – 75 = 25 (%), т.е. всего покупатель должен заплатить 100 + 25 = 125 (%) от исходной стоимости. Далее можно рассмотреть решение тремя способами.

    400 рублей принимаем за 100 %. Тогда в 1% содержится 400 : 100 = 4 (руб.), а в 125 %
    4 • 125 = 500 (руб.)

    Процент от числа находится умножением числа на дробь, соответствующую проценту или умножением числа на данный процент и делением на 100.
    400 • 1,25 = 500 или 400 • 125/100 = 500.

    Применение свойства пропорции:
    400 руб. – 100 %
    х руб. – 125 %, получим х = 125 • 400 / 100 = 500 (руб.)

    Ответ: 500 рублей.

    Пример. (Вариант 4 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 -80с)

    Средний вес мальчиков того же возраста, что и Гоша, равен 57 кг. Вес Гоши составляет 150 % среднего веса. Сколько килограммов весит Гоша?

    Аналогично примеру, рассмотренному выше можно составить пропорцию:

    57 кг – 100 %
    х кг – 150 %, получим х = 57 • 150 / 100 = 85,5 (кг)

    Пример. (Вариант 7 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 — 80с)

    После уценки телевизора его новая цена составила 0,52 старой. На сколько процентов уменьшилась цена в результате уценки?

    Найдем сначала долю уменьшения цены. Если исходную цену принять за 1, то 1 – 0,52 = 0,48 составляет доля уменьшения цены. Тогда получаем, 0,48 • 100 % = 48 %. Т.е. на 48 % уменьшилась цена в результате уценки.

    Если исходную стоимость принять за А, то после уценки новая цена телевизора будет равняться 0,52А, т.е. она уменьшится на А – 0,52А = 0,48А.

    Составим пропорцию:
    А – 100%
    0,48А – х %, получим х = 0,48А • 100 / А = 48 (%).

    Ответ: на 48 % уменьшилась цена в результате уценки.

    Пример. (Вариант 9 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 — 80с)

    Товар на распродаже уценили на 15%, при этом он стал стоить 680 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

    До понижения цены товар стоил 100%. Цена на товар после распродажи уменьшилась на 15%, т.е. стала 100 – 15 = 85 (%), в рублях эта величина равна 680 рублей.

    680 : 85 = 8 (руб.) – в 1%
    8 • 100 = 800 (руб.) – стоил товар до распродажи.

    Это задача на нахождение числа по его проценту, решается делением числа на соответствующий ему процент и путем обращения полученной дроби в проценты, умножением на 100, или действием деления на дробь, полученную при переводе из процентов.
    680 : 85 • 100 = 800 (руб.) или 680 : 0,85 = 800 (руб.)

    С помощью пропорции:
    680 руб. – 85 %
    х руб. – 100 %, получим х = 680 • 100 / 85 = 800 (руб.)

    Ответ: 800 рублей стоил товар до распродажи.

    Решение задач на смеси и сплавы, с использованием понятий «процентное содержание», «концентрация», «% -й раствор».

    Самые простые задачи этого типа приведены ниже.

    Пример. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

    10 • 0,15 = 1,5 (кг) соли.

    Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором (например, 15%-й раствор соли).

    Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

    Процентное содержание вещества в сплаве — это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

  • 10 + 15 = 25 (кг) — сплав;
  • 10 : 25 • 100% = 40% — процентное содержание олова в сплаве;
  • 15 : 25 • 100% = 60% — процентное содержание цинка в сплаве.
  • В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Что же это такое?

    Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде.

    Пусть в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты и 7 литров воды. Тогда относительное (по отношению ко всему объему) содержание кислоты в растворе равно . Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В приведенном примере процентное содержание будет таково: . Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.

    Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m.

    • концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина ;
    • процентным содержанием данного вещества называется величина с×100%;

    Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M.

    Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:

  • Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2, а концентрация .
  • Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.
  • При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом добавлении смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.

    Если концентрация вещества в соединении по массе составляет P%, то это означает, что масса этого вещества составляет P% от массы всего соединения.

    Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.

    300 • 0,87 = 261 (г).

    В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

    Отношения объема чистого компонента в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этого компонента.

    Сумма концентраций всех компонентов, составляющих смесь, равна 1.

    Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:
    К = P/100%,
    где К — концентрация вещества;
    P — процентное содержание вещества (в процентах).

    Пример. (Вариант 8 № 22. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 — 80с)

    Свежие фрукты содержат 75% воды, а высушенные – 25%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 45 кг высушенных фруктов?

    Если в свежих фруктах содержится 75% воды, то сухого вещества будет 100 – 75 = 25 (%), а высушенные – 25%, то сухого вещества в них будет 100 – 25 = 75 (%).

    При оформлении решения задачи, можно использовать таблицу:

    Общая масса, кг | Концентрация сухого вещества | Масса сухого вещества

    Свежие фрукты х 25% = 0,25 0,25 • х

    Высушенные фрукты 45 75% = 0,75 0,75 • 45 = 33,75

    Т.к. масса сухого вещества для свежих и высушенных фруктов не меняется, то получим уравнение:

    0,25 • х = 33,75;
    х = 33,75 : 0,25;
    х = 135 (кг) – требуется свежих фруктов.

    Пример. (Вариант 8 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)

    Смешав 70 % -й и 60 % -й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50 % -й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90 % -го раствора той же кислоты, то получили бы 70 % -й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 % -го раствора использовали для получения смеси?

    Общая масса, кг | Концентрация сухого вещества | Масса сухого вещества
    I х 70% = 0,7 0,7 • х
    II у 60% = 0,6 0,6 • у
    вода 2 – –
    I + II + вода х + у + 2 50 % = 0,5 0,5 • ( х + у + 2 )
    III 2 90 % = 0,9 0,9 • 2 = 1,8
    I + II + III х + у + 2 70 % = 0,7 0,7 • ( х + у + 2)

    Используя последний столбик из таблицы составим 2 уравнения:

    0,7 • х + 0,6 • у = 0,5 • ( х + у + 2 ) и 0,7 • х + 0,6 • у + 1,8 = 0,7 • ( х + у + 2).

    Объединив их в систему, и решив ее, получим, что х = 3 кг.

    Ответ: 3 килограмма 70 % -го раствора использовали для получения смеси.

    Пример. (Вариант 2 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)

    Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни – столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?

    Из первого предложения задачи получаем следующие равенства:

    3ч = 5в,
    3в = 2к.
    Из которых можно выразить: ч = 5в/3, к = 3в/2.

    Таким образом можно составить пропорцию:
    5в/3 – 100%
    3в/2 – х %, получим х = (3 • 100 • в •3)/(2 • 5 • в), х = 90% составляет стоимость килограмма клубники от стоимости килограмма черешни.

    Значит, на 100 – 90 = 10 (%) – килограмм клубники дешевле килограмма черешни.

    Ответ: на 10 процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни.

    Решение задач на «сложные» проценты, с использованием понятия коэффициента увеличения (уменьшения).

    Чтобы увеличить положительное число А на р процентов, следует умножить число А на коэффициент увеличения К = (1 + 0,01р).

    Чтобы уменьшить положительное число А на р процентов, следует умножить число А на коэффициент уменьшения К = (1 – 0,01р).

    Пример. (Вариант 29 № 22. ОГЭ-2015. Математика. Тип. экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. Ященко, 2015 — 224с)

    Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 5000 рублей, а окончательная 4050 рублей?

    Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х. Пусть в первый и второй раз цена товара была понижена на х %, тогда после первого понижения цена товара стала (100 – х ) %.

    Составим пропорцию
    5000 руб. – 100%
    у руб. – (100 – х)%, получим у = 5000 • (100 – х) / 100 = 50 • (100 – х) рублей – стоимость товара после первого понижения.

    Составим новую пропорцию уже по новой цене:
    50 • (100 – х) руб. – 100%
    z руб. – (100 – х)%, получим z = 50 • (100 – х) (100 – х) / 100 = 0,5 • (100 – х)2 рублей – стоимость товара после второго понижения.

    Получим уравнение 0,5 • (100 – х)2 = 4050. Решив его, получим, что х = 10 % .

    Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х, х % = 0,01 х.

    Используя понятие коэффициента уменьшения, сразу получаем уравнение:
    5000 • (1 – 0,01х)2 = 4050.

    Ответ: на 10 % снижалась цена товара каждый раз.

    Пример. (Вариант 30 № 22. ОГЭ-2015. Математика. Тип. экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. Ященко, 2015 — 224с)

    Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 3000 рублей, а окончательная 3630 рублей?

    Т.к. цена товара повышалась на одно и то же число %, обозначим число % за х, х % = 0,01 х.

    Используя понятие коэффициента увеличения, сразу получаем уравнение:
    3000 • (1 + 0,01х)2 = 3630.

    Решив его, получим, что х = 10 %.

    Ответ: на 10 % повышалась цена товара каждый раз.

    Пример. (Вариант 4 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)

    В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?

    Пусть акции компании дорожали и дешевели на х %, х % = 0,01 х, а исходная стоимость акций была А. Используя все условия задачи, получаем уравнение:

    (1 + 0,01 х)(1 – 0,01 х)А = (1 – 0,09)А,
    1 – (0,01 х)2 = 0,91,
    (0,01 х)2 = (0,3)2,
    0,01 х = 0,3,
    х = 30 %.

    Ответ: на 30 процентов подорожали акции компании в четверг.

    Решение «банковских» задач в новой версии ЕГЭ-2016 по математике.

    Пример. (Вариант 2 №17. ЕГЭ-2016. Математика. 50 типов. вар. ред. Ященко 2016)

    15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:

  • 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
  • Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

    1) Пусть А – сумма кредита, 1 % = 0,01.

    Тогда 1,01А долг после первого месяца.

    Со 2-го по 14-е число производится выплата А/15 +0,01А.

    После чего сумма долга составит 1,01А – А/15 – 0,01А = 14А/15.

    Через 2 месяца получаем: 1,01• 14А/15.

    Второй платеж А/15 + 0,01• 14А/15.

    Тогда долг после второго платежа 13А/15.

    Аналогично получаем, что восьмая выплата будет иметь вид:

    А/15 + 0,01• 8А/15 = А/15 • (1 + 0,08) = 1,08А/15.

    А по условию она равна 108 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение:

    А=1500 (тыс. руб.) – исходная сумма долга.

    2) Чтобы найти сумму, которую нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования, мы должны найти сумму всех выплат по кредиту.

    Сумма всех выплат по кредиту будет иметь вид:

    (А/15 + 0,01А) + (А/15 + 0,01• 14А/15) + (А/15 + 0,01• 13А/15) + … + ( А/15 + 0,01• А/15) = А + 0,01А/15 (15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = А + (0,01• 120А)/15 = 1,08А.

    Значит, 1,08 • 1500 = 1620 (тыс. руб.) = 1620000 рублей нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования.

    Ответ: 1620000 рублей.

    Пример. (Вариант 6 №17. ЕГЭ-2016. Математика. 50 типов. вар. ред. Ященко 2016)

    15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:

  • со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
  • 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
  • Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

    Со 2-го по 14-е число производится выплата А/24 +0,01А.

    После чего сумма долга составит 1,01А – А/24 – 0,01А = А – А/24 = 23А/24.

    При такой схеме долг становится на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

    Через 2 месяца получаем: 1,01• 23А/24.

    Второй платеж А/24 + 0,01• 23А/24.

    Тогда долг после второго платежа 1,01• 23А/24 – А/24 – 0,01• 23А/24 = 23А/24(1,01 – 0,01) – А/24 = 23А/24 – А/24 = 22А/24.

    Таким образом получаем, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку следующую сумму:
    А/24 +0,01А • 24/24 + А/24 + 0,01• 23А/24 + А/24 + 0,01• 22А/24 + … + А/24 + 0,01• 13А/24 =12А/24 + 0,01А/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = А/2 + 222А/2400 = 711А/1200.

    А по условию она равна 177,375 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение:
    711А/1200 = 177,75,
    А=300 (тыс. руб.) =300000 рублей – планируется взять в кредит.

    www.uchportal.ru