Полезные статьи

Правила сложения и вычитание положительных и отрицательных чисел

Оглавление:

Вычитание отрицательных чисел

Как известно вычитание — это действие, противоположное сложению.

Если « a » и « b » — положительные числа, то вычесть из числа « a » число « b », значит найти такое число « c », которое при сложении « с » числом « b » даёт число « a ».

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

Или по другому можно сказать, что вычитание числа « b » — это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу « b ».

Стоит запомнить выражения ниже.

Правила вычитания отрицательных чисел

Как видно из примеров выше вычитание числа « b » — это сложение с числом противоположным числу « b ».

Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.

Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.

Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем « + », а если знаки разные, то получаем « − ».

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всеми числами в этих скобках.

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.

math-prosto.ru

Деление отрицательных чисел

Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление — это действие, обратное умножению.

Если « a » и « b » положительные числа, то разделить число « a » на число « b », значит найти такое число « с », которое при умножении на « b » даёт число « a ».

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.

Поэтому, например, разделить число « −15 » на число 5 — значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число « −15 ». Таким числом будет « −3 », так как

Примеры деления рациональных чисел.

  1. 10 : 5 = 2 , так как 12 · 5 = 10
  2. (−4) : (−2) = 2 , так как 2 · (−2) = −4
  3. (−18) : 3 = −6 , так как (−6) · 3 = −18
  4. 12 : (−4) = −3 , так как (−3) · (−4) = 12

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками — число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками— число отрицательное (примеры 3, 4).

Правила деления отрицательных чисел

Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.

Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

  • модуль делимого разделить на модуль делителя;
  • перед результатом поставить знак « + ».
  • Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:

    Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:

  • перед результатом поставить знак « − ».
  • Примеры деления чисел с разными знаками:

    Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.

    Правило знаков при делении

    При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

    Можно обратить внимание, что в числителе два знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».

    Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

    Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.

    Делить на ноль НЕЛЬЗЯ !

    Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.

  • а : 1 = a
  • а : (−1) = −a
  • а : a = 1
  • , где « а » — любое рациональное число.

    Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):

  • если a · b = с; a = с : b; b = с : a;
  • если a : b = с; a = с · b; b = a : c
  • Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.

    Пример нахождения неизвестного.

    Знак «минус» в дробях

    Разделим число « −5 » на « 6 » и число « 5 » на « −6 ».

    Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби — это тот же знак деления, поэтому можно записать частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.

    Таким образом знак «минус» в дроби может находиться:

    • перед дробью;
    • в числителе;
    • в знаменателе.
    • При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

      Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.

      Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.

      Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.

      Доли, обыкновенные дроби, определения, обозначения, примеры, действия с дробями.

      Эта статья про обыкновенные дроби. Здесь мы познакомимся с понятием доли целого, которое приведет нас к определению обыкновенной дроби. Дальше остановимся на принятых обозначениях для обыкновенных дробей и приведем примеры дробей, скажем про числитель и знаменатель дроби. После этого дадим определения правильных и неправильных, положительных и отрицательных дробей, а также рассмотрим положение дробных чисел на координатном луче. В заключение перечислим основные действия с дробями.

      Навигация по странице.

      Доли целого

      Сначала введем понятие доли.

      Предположим, что у нас есть некоторый предмет, составленный из нескольких абсолютно одинаковых (то есть, равных) частей. Для наглядности можно представить, например, яблоко, разрезанное на несколько равных частей, или апельсин, состоящий из нескольких равных долек. Каждую из этих равных частей, составляющих целый предмет, называют долей целого или просто долей.

      Заметим, что доли бывают разные. Поясним это. Пусть у нас есть два яблока. Разрежем первое яблоко на две равные части, а второе – на 6 равных частей. Понятно, что доля первого яблока будет отличаться от доли второго яблока.

      В зависимости от количества долей, составляющих целый предмет, эти доли имеют свои названия. Разберем названия долей. Если предмет составляют две доли, любая из них называется одна вторая доля целого предмета; если предмет составляют три доли, то любая из них называется одна третья доля, и так далее.

      Одна вторая доля имеет специальное название – половина. Одна третья доля называется третью, а одна четверная доля – четвертью.

      Для краткости записи были введены следующие обозначения долей. Одну вторую долю обозначают как или 1/2 , одну третью долю – как или 1/3 ; одну четвертую долю – как или 1/4 , и так далее. Отметим, что запись с горизонтальной чертой употребляется чаще. Для закрепления материала приведем еще один пример: запись обозначает одну сто шестьдесят седьмую долю целого.

      Понятие доли естественным образом распространяется с предметов на величины. Например, одной из мер измерения длины является метр. Для измерения длин меньших, чем метр, можно использовать доли метра. Так можно воспользоваться, например, половиной метра или десятой или тысячной долей метра. Аналогично применяются доли других величин.

      Обыкновенные дроби, определение и примеры дробей

      Для описания количества долей используются обыкновенные дроби. Приведем пример, который позволит нам подойти к определению обыкновенных дробей.

      Пусть апельсин состоит из 12 долей. Каждая доля в этом случае представляет одну двенадцатую долю целого апельсина, то есть, . Две доли обозначим как , три доли – как , и так далее, 12 долей обозначим как . Каждую из приведенных записей называют обыкновенной дробью.

      Теперь дадим общее определение обыкновенных дробей.

      Обыкновенные дроби – это записи вида (или m/n ), где m и n – любые натуральные числа.

      Озвученное определение обыкновенных дробей позволяет привести примеры обыкновенных дробей: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . А вот записи не подходят под озвученное определение обыкновенных дробей, то есть, не являются обыкновенными дробями.

      Числитель и знаменатель

      Для удобства в обыкновенной дроби различают числитель и знаменатель.

      Числитель обыкновенной дроби ( m/n ) – это натуральное число m .

      Знаменатель обыкновенной дроби ( m/n ) – это натуральное число n .

      Итак, числитель расположен сверху над чертой дроби (слева от наклонной черты), а знаменатель – снизу под чертой дроби (справа от наклонной черты). Для примера приведем обыкновенную дробь 17/29 , числителем этой дроби является число 17 , а знаменателем – число 29 .

      Осталось обговорить смысл, заключенный в числителе и знаменателе обыкновенной дроби. Знаменатель дроби показывает, из скольких долей состоит один предмет, числитель в свою очередь указывает количество таких долей. Например, знаменатель 5 дроби 12/5 означает, что один предмет состоит из пяти долей, а числитель 12 означает, что взято 12 таких долей.

      Натуральное число как дробь со знаменателем 1

      Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен единице. В этом случае можно считать, что предмет неделим, иными словами, представляет собой нечто целое. Числитель такой дроби указывает, сколько целых предметов взято. Таким образом, обыкновенная дробь вида m/1 имеет смысл натурального числа m . Так мы обосновали справедливость равенства m/1=m .

      Перепишем последнее равенство так: m=m/1 . Это равенство дает нам возможность любое натуральное число m представлять в виде обыкновенной дроби. Например, число 4 – это дробь 4/1 , а число 103 498 равно дроби 103 498/1 .

      Итак, любое натуральное число m можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1 как m/1 , а любую обыкновенную дробь вида m/1 можно заменить натуральным числом m .

      Черта дроби как знак деления

      Представление исходного предмета в виде n долей представляет собой не что иное как деление на n равных частей. После того как предмет разделен на n долей, мы его можем разделить поровну между n людьми – каждый получит по одной доле.

      Если же у нас есть изначально m одинаковых предметов, каждый из которых разделен на n долей, то эти m предметов мы можем поровну разделить между n людьми, раздав каждому человеку по одной доле от каждого из m предметов. При этом у каждого человека будет m долей 1/n , а m долей 1/n дает обыкновенную дробь m/n . Таким образом, обыкновенную дробь m/n можно применять для обозначения деления m предметов между n людьми.

      Так мы получили явную связь между обыкновенными дробями и делением (смотрите общее представление о делении натуральных чисел). Эта связь выражается в следующем: черту дроби можно понимать как знак деления, то есть, m/n=m:n .

      С помощью обыкновенной дроби можно записать результат деления двух натуральных чисел, для которых не выполняется деление нацело. Например, результат деления 5 яблок на 8 человек можно записать как 5/8 , то есть, каждому достанется пять восьмых долей яблока: 5:8=5/8 .

      Равные и неравные обыкновенные дроби, сравнение дробей

      Достаточно естественным действием является сравнение обыкновенных дробей, ведь понятно, что 1/12 апельсина отличается от 5/12 , а 1/6 доля яблока такая же, как другая 1/6 доля этого яблока.

      В результате сравнения двух обыкновенных дробей получается один из результатов: дроби либо равны, либо не равны. В первом случае мы имеем равные обыкновенные дроби, а во втором – неравные обыкновенные дроби. Дадим определение равных и неравных обыкновенных дробей.

      Две обыкновенные дроби a/b и c/d равны, если справедливо равенство a·d=b·c .

      www.cleverstudents.ru

      Урок 3. Как работает компьютер

      Для успешного «общения» с компьютером вредно воспринимать его как черный ящик, который вот-вот выдаст что-то неожиданное. Чтобы понимать реакцию компьютера на Ваши действия, нужно знать как он устроен и как работает.

      В этом IT-уроке узнаем, как работает большинство вычислительных устройств (к которым относятся не только персональные компьютеры).

      Во втором уроке мы разобрались, что компьютер нужен для обработки информации, её хранения и передачи. Посмотрим же, как происходит обработка информации.

      Как хранится информация на компьютере

      Компьютер хранит, передаёт и обрабатывает информацию в виде нолей «0» и единиц «1», то есть используется двоичный код и двоичная система счисления.

      Например, десятичное число «9» он видит как двоичное число «1001».

      В виде нолей и единиц хранятся и все данные, которые необходимо обработать, и все программы, которые руководят процессом обработки.

      Например, фотографию компьютер видит так (только первые две строчки файла из 527 строк):

      Так человек видит изображение:

      Компьютер видит набор «0» и «1»

      (первые две строчки файла):

      А текст для компьютера выглядит так:

      Человек видит текст:

      Компьютер опять видит набор «0» и «1»:

      Сегодня мы не будем разбираться в тонкостях вычислений и преобразований, посмотрим на процесс в общем.

      Где хранится информация

      Когда информация занесена в компьютер (записана), то она хранится на специальном устройстве – накопителе данных. Обычно накопитель данных – это жесткий диск (винчестер).

      Жестким диском это устройство называется из-за конструкции. Внутри его корпуса находится один или несколько твердых блинов (металлических или стеклянных), на которых и хранятся все данные (текстовые документы, фотографии, фильмы и т.д.) и установленные программы (операционная система, прикладные программы, как Word, Excel, и др.).

      Жесткий диск (накопитель данных) хранит программы и данные

      Информация на жестком диске хранится и после выключения компьютера.

      Подробнее об устройстве жесткого диска мы узнаем в одном из следующих IT-уроков.

      Что обрабатывает всю информацию в компьютере

      Основная задача компьютера – обрабатывать информацию, то есть выполнять вычисления. Большую часть вычислений выполняет специальное устройство – процессор. Это сложная микросхема, содержащая сотни миллионов элементов (транзисторов).

      Процессор – обрабатывает информацию

      Что в данный момент времени делать процессору говорит программа, она указывает, какие данные необходимо обработать и что с ними нужно сделать.

      Схема обработки данных

      Программы и данные загружаются с накопителя (жесткого диска).

      Но жесткий дискотносительно медленное устройство, и если бы процессор ждал, пока будет считываться информация, а потом записываться после обработки обратно, то он бы долго оставался без дела.

      Не оставим процессор без дела

      Поэтому между процессором и жестким диском установили более быстрое запоминающее устройство – оперативную память (оперативное запоминающее устройство, ОЗУ). Это небольшая печатная плата, на которой находятся быстрые микросхемы памяти.

      Оперативная память – ускоряет доступ процессора к программам и данным

      В оперативную память заранее считываются с жёсткого диска все необходимые программы и данные. Во время работы процессор обращается к оперативной памяти, считывает команды программы, которая говорит какие данные нужно взять и как именно их обработать.

      При выключении компьютера содержимое оперативной памяти не сохраняется в ней (в отличие от жесткого диска).

      Процесс обработки информации

      Итак, теперь мы знаем, какие устройства участвуют в обработке информации. Посмотрим теперь на весь процесс вычислений.

      Анимация процесса обработки информации компьютером (IT-uroki.ru)

      Когда компьютер выключен, все программы и данные хранятся на жестком диске. При включении компьютера и запуске программы, происходит следующее:

      1. Программа с жесткого диска заносится в оперативную память и сообщает процессору, какие загрузить данные в оперативную память.

      2. Процессор поочередно выполняет команды программы, порциями обрабатывая данные, взяв их из оперативной памяти.

      3. Когда данные обработаны, результат вычислений процессор возвращает в оперативную память и берет следующую порцию данных.

      4. Результат работы программы возвращается на жесткий диск и сохраняется.

      Описанные шаги показаны красными стрелками на анимации (эксклюзивно от сайта IT-uroki.ru).

      Ввод и вывод информации

      Чтобы компьютер получил информацию для обработки, её нужно ввести. Для этого используются устройства ввода данных:

    • Клавиатура (с помощью неё мы вводим текст и управляем компьютером);
    • Мышь (с помощью мыши мы управляем компьютером);
    • Сканер (заносим изображение в компьютер);
    • Микрофон (записываем звук) и т.д.
    • Для вывода результата обработки информации используются устройства вывода данных:

    • Монитор (выводим изображение на экран);
    • Принтер (выводим текст и изображение на бумагу);
    • Акустические системы или «колонки» (слушаем звуки и музыку);
    • Кроме того, мы можем вводить и выводить данные на другие устройства с помощью:

      • Внешних накопителей(с них мы копируем уже имеющиеся данные в компьютер):
        • флэшка,
        • компакт-диск (CD или DVD),
        • переносной жесткий диск,
        • дискета;
          • Компьютерной сети (получаем данные с других компьютеров через Интернет или городскую сеть).
          • Если в нашу схему добавить устройства ввода-вывода, то получится вот такая диаграмма:

            Ввод, обработка и вывод данных

            То есть компьютер работает с ноликами и единичками, а когда информация поступает на устройство вывода, она переводится в привычные нам образы (изображение, звук).

            Подводим итог

            Итак, сегодня мы вместе с сайтом IT-uroki.ru узнали, как работает компьютер. Если кратко, то компьютер получает данные с устройств ввода (клавиатура, мышь и т.д.), заносит их на жесткий диск, затем передает в оперативную память и обрабатывает с помощью процессора. Результат обработки возвращается сначала в оперативную память, затем либо на жесткий диск, либо сразу на устройства вывода (например, монитор).

            Если появились вопросы, можно задать их в комментариях к этой статье.

            Обо всех перечисленных в сегодняшнем уроке устройствах Вы можете узнать подробнее из последующих уроков на сайте IT-уроки. Чтобы не пропустить новые уроки – подпишитесь на новости сайта.

            Копирование запрещено

            Напомню, что на сайте IT-уроки есть постоянно обновляемые справочники:

            Видео-дополнение

            Сегодня небольшое познавательное видео о производстве процессоров.


            it-uroki.ru

            КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

            Контрольные работы — 1 класс, Моро

            Темы: «Цифры: 5, 6, 7, 8, 9, 0», «Сравнение чисел», «Сложение чисел», «Вычитание чисел».

            Контрольные работы во 2 классе, Петерсон

            Что должны уметь ученики 1 класса по математике к концу учебного года. Итоговая контрольная работа по математике предназначена для проверки знаний, умений и навыков, полученных учениками к концу первого года обучения.

            Контрольные работы для 3 класса, Моро

            Темы: «Отрезок, углы», «Умножение и деление», «Решение текстовых задач», «Умножение и деление чисел на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9», «Вычисление значений выражений», «Порядок выполнения действий», «Правила раскрытия скобок», «Вне табличное умножение и деление с числами до 100», «Окружность, круг, радиус и диаметр».

            Контрольные за 4 класс по математике, Моро

            Контрольные работы за все четверти на темы: «Умножение и деление чисел», «Уравнения», «Решение текстовых задач на умножение и деление», «Периметр и площадь фигур»

            Контрольные по математике — 5 класс, Виленкин

            Контрольные работы по учебнику Н.Я. Виленкина по темам: «Доли и дроби обыкновенные, правильные и неправильные», «Сложение и вычитание обыкновенных дробей», «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Выражения, уравнения и решение уравнений», «Квадрат и куб числа», «Площадь, объем, формулы измерения площади и объема».

            Контрольная для 6 класса, Виленкин

            Контрольные работы на темы: «Пропорции», «Масштаб», «Длина окружности и площадь круга», «Координаты на прямой», «Противоположные числа», «Модуль числа», «Сравнение чисел».

            Контрольные работы — 7 класс, по алгебре

            Контрольные работы на темы: «»Математический язык и математическая модель», «Линейная функция», «Системы двух линейных уравнений (метод постановки и метод сложения)», «Степень с натуральным показателем и её свойства», «Одночлены», «Многочлены», «Разложение многочлена на множители», «Функция $y=x^2$».

            Контрольные работы для 8 класса по алгебре по Мордковичу

            Контрольные работы на темы: «Алгебраические дроби», «Функция $у=\sqrt<х>«, «Квадратичная функция», «Квадратные уравнения», «Неравенства».

            Контрольные работы для 9 класса по алгебре, Мордкович

            Контрольные работы на темы: «Неравенства с одной переменной», «Системы неравенств», «Неравенства с модулями. Иррациональные неравенства», «Уравнения и неравенства с двумя переменными», «Системы уравнений: иррациональные, однородные, симметричные».

            САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

            Задачи и примеры для самостоятельной работы по математике для 1 класса за 3 и 4 четверти

            Темы: «Числа от 0 до 20», «Сравнение чисел», «Сложение и вычитание чисел».

            Задачи и примеры для 2 класса по учебникам М.И. Моро и Л.Г. Петерсона для самостоятельной работы

            Темы: «Умножение и деление», «Сложение и вычитание чисел от 1 до 100», «Скобки, порядок выполнения действий», «Отрезок, угол, прямоугольник».

            Задачи и примеры для самостоятельных работ по математике по учебнику М. И. Моро для 3 класса, 3 и 4 четверти

            Темы: «Отрезок, углы», «Умножение и деление»,»Решение текстовых задач».

            Задачи по математике за 4 класс, примеры за 3 и 4 четверти

            Темы: «Умножение и деление чисел», «Уравнения», «Решение текстовых задач на умножение и деление», «Периметр и площадь фигур».

            Задачи по математике – 5 класс, примеры за 3 четверть по учебнику Н.Я. Виленкина

            Темы: «Окружность и круг», «Дроби обыкновенные, десятичные и смешанные», «Сравнение дробей», «Сложение и вычитание обыкновенных и смешанных дробей».

            Задачи для 6 класса для самостоятельных работ за 3 четверть

            Темы: «Пропорции», «Масштаб», «Длина и площадь круга», «Координаты», «Противоположные числа», «Модуль числа», «Сравнение чисел».

            Алгебра — 7 класс, самостоятельные работы по учебнику Мордковича за 1, 2, 3, 4 четверти

            Темы: «Числовые и алгебраические выражения», «Математический язык и математическая модель», «Линейное уравнение с одной переменной», «Координатная прямая и плоскость», «Линейные уравнения с двумя переменными», «Линейная функция и ее график».

            ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНИХ РАБОТ

            Домашние задания по математике для 1 класса, 3 и 4 четверти

            Темы: «Числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10», «Сравнение», «Сложение и вычитание», «Решение текстовых задач».

            Домашние задания по математике для 2 класса за 3 и 4 четверти

            Темы: «Сложение и вычитание», «Решение текстовых задач», «Умножение и деление».

            Домашние задания по математике по учебнику М. И. Моро для 3 класса за 3 и 4 четверти

            Темы: «Умножение и деление чисел от 0 до 100», «Решение текстовых задач».

            Задания по математике для 4 класс за 3 и 4 четверти

            Задания по учебнику Моро на темы: «Умножение и деление чисел», «Уравнения», «Решение текстовых задач на умножение и деление», «Периметр и площадь фигур».

            Задания по математике — 5 класс, за 3 четверть по учебнику Н. Я. Виленкина

            Темы: «Окружность и круг. Обыкновенные дроби», «Сравнение дробей», «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Округление чисел».

            Задания по математике для 6 класса за 3 четверть

            Темы: «Делители и кратные», «Признаки делимости», «Наибольший общий делитель», «Наибольшее общее кратное», «Свойство дробей», «Сокращение дробей», «Действия с дробями: сложение, вычитание, сравнение».

            Задания по алгебре для 7 класса по учебнику Мордковича за 1, 2, 3, 4 четверти

            Темы: «Числовые и алгебраические выражения», «Математический язык и математическая модель», «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными», «Степень с натуральным показателем и её свойства», «Одночлены, операции над одночленами – сложение, вычитание, умножение, возведение в степень», «Умножение одночленов», «Возведение одночлена в натуральную степень», «Деление одночлена на одночлен».

            mathematics-tests.com