Полезные статьи

Правила пользования степенями

Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры.

После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени. В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.

Навигация по странице.

Свойства степеней с натуральными показателями

По определению степени с натуральным показателем степень a n представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a . Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел, можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем:

  • основное свойство степени a m ·a n =a m+n , его обобщение a n1 ·a n2 ·…·a nk =a n1+n2+…+nk ;
  • свойство частного степеней с одинаковыми основаниями a m :a n =a m−n ;
  • свойство степени произведения (a·b) n =a n ·b n , его расширение (a1·a2·…·ak) n =a1 n ·a2 n ·…·ak n ;
  • свойство частного в натуральной степени (a:b) n =a n :b n ;
  • возведение степени в степень (a m ) n =a m·n , его обобщение (((a n1 ) n2 ) … ) nk =a n1·n2·…·nk ;
  • сравнение степени с нулем:
    • если a>0 , то a n >0 для любого натурального n ;
    • если a=0 , то a n =0 ;
    • если a 2·m >0 , если a 2·m−1 n ;
    • если m и n такие натуральные числа, что m>n , то при 0m n , а при a>0 справедливо неравенство a m >a n .
    • Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами. Например, основное свойство дроби a m ·a n =a m+n при упрощении выражений часто применяется в виде a m+n =a m ·a n .

      Теперь рассмотрим каждое из них подробно.

      Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени: для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство a m ·a n =a m+n .

      Докажем основное свойство степени. По определению степени с натуральным показателем произведение степеней с одинаковыми основаниями вида a m ·a n можно записать как произведение . В силу свойств умножения полученное выражение можно записать как , а это произведение есть степень числа a с натуральным показателем m+n , то есть, a m+n . На этом доказательство завершено.

      Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Возьмем степени с одинаковыми основаниями 2 и натуральными степенями 2 и 3 , по основному свойству степени можно записать равенство 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Проверим его справедливость, для чего вычислим значения выражений 2 2 ·2 3 и 2 5 . Выполняя возведение в степень, имеем 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 2 5 =2·2·2·2·2=32 , так как получаются равные значения, то равенство 2 2 ·2 3 =2 5 — верное, и оно подтверждает основное свойство степени.

      Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Так для любого количества k натуральных чисел n1, n2, …, nk справедливо равенство a n1 ·a n2 ·…·a nk =a n1+n2+…+nk .

      Например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

      Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем – свойству частного степеней с одинаковыми основаниями: для любого отличного от нуля действительного числа a и произвольных натуральных чисел m и n , удовлетворяющих условию m>n , справедливо равенство a m :a n =a m−n .

      Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие a≠0 необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0 n =0 , а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при m>n показатель степени a m−n является натуральным числом, в противном случае он будет либо нулем (что происходит при m−n ), либо отрицательным числом (что происходит при m m−n ·a n =a (m−n)+n =a m . Из полученного равенства a m−n ·a n =a m и из связи умножения с делением следует, что a m−n является частным степеней a m и a n . Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями.

      Приведем пример. Возьмем две степени с одинаковыми основаниями π и натуральными показателями 5 и 2 , рассмотренному свойству степени отвечает равенство π 5 :π 2 =π 5−3 =π 3 .

      Теперь рассмотрим свойство степени произведения: натуральная степень n произведения двух любых действительных чисел a и b равна произведению степеней a n и b n , то есть, (a·b) n =a n ·b n .

      Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем . Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как , что равно a n ·b n .

      Приведем пример: .

      Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a1·a2·…·ak) n =a1 n ·a2 n ·…·ak n .

      Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем .

      Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени: частное действительных чисел a и b , b≠0 в натуральной степени n равно частному степеней a n и b n , то есть, (a:b) n =a n :b n .

      Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Так (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , а из равенства (a:b) n ·b n =a n следует, что (a:b) n является частным от деления a n на b n .

      Запишем это свойство на примере конкретных чисел: .

      Теперь озвучим свойство возведения степени в степень: для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n степень a m в степени n равна степени числа a с показателем m·n , то есть, (a m ) n =a m·n .

      Например, (5 2 ) 3 =5 2·3 =5 6 .

      Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: .

      Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т.д. Например, для любых натуральных чисел p , q , r и s справедливо равенство . Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2) 3 ) 2 ) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

      Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем.

      Начнем с доказательства свойства сравнения нуля и степени с натуральным показателем.

      Для начала обоснуем, что a n >0 при любом a>0 .

      Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a с натуральным показателем n по определению является произведением n множителей, каждый из которых равен a . Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень a n есть положительное число. В силу доказанного свойства 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 и .

      Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень a n есть нуль. Действительно, 0 n =0·0·…·0=0 . К примеру, 0 3 =0 и 0 762 =0 .

      Переходим к отрицательным основаниям степени.

      Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m , где m — натуральное. Тогда . По правилу умножения отрицательных чисел каждое из произведений вида a·a равно произведению модулей чисел a и a , значит, является положительным числом. Следовательно, положительным будет и произведение и степень a 2·m . Приведем примеры: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

      Наконец, когда основание степени a является отрицательным числом, а показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то . Все произведения a·a являются положительными числами, произведение этих положительных чисел также положительно, а его умножение на оставшееся отрицательное число a дает в итоге отрицательное число. В силу этого свойства (−5) 3 17 n n представляет собой произведение левых и правых частей n верных неравенств aсвойств неравенств справедливо и доказываемое неравенство вида a n n . Например, в силу этого свойства справедливы неравенства 3 7 7 и .

      Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями. Сформулируем его. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства.

      Докажем, что при m>n и 0m n . Для этого запишем разность a m −a n и сравним ее с нулем. Записанная разность после вынесения a n за скобки примет вид a n ·(a m−n −1) . Полученное произведение отрицательно как произведение положительного числа a n и отрицательного числа a m−n −1 ( a n положительна как натуральная степень положительного числа, а разность a m−n −1 отрицательна, так как m−n>0 в силу исходного условия m>n , откуда следует, что при 0m−n меньше единицы). Следовательно, a m −a n m n , что и требовалось доказать. Для примера приведем верное неравенство .

      Осталось доказать вторую часть свойства. Докажем, что при m>n и a>1 справедливо a m >a n . Разность a m −a n после вынесения a n за скобки принимает вид a n ·(a m−n −1) . Это произведение положительно, так как при a>1 степень a n есть положительное число, и разность a m−n −1 есть положительное число, так как m−n>0 в силу начального условия, и при a>1 степень a m−n больше единицы. Следовательно, a m −a n >0 и a m >a n , что и требовалось доказать. Иллюстрацией этого свойства служит неравенство 3 7 >3 2 .

      Свойства степеней с целыми показателями

      Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте.

      Степень с целым отрицательным показателем, а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.

      Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b , а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями:

    • a m ·a n =a m+n ;
    • a m :a n =a m−n ;
    • (a·b) n =a n ·b n ;
    • (a:b) n =a n :b n ;
    • (a m ) n =a m·n ;
    • если n – целое положительное число, a и b – положительные числа, причем an n и a −n >b −n ;
    • если m и n – целые числа, причем m>n , то при 0m n , а при a>1 выполняется неравенство a m >a n .
    • При a=0 степени a m и a n имеют смысл лишь когда и m , и n положительные целые числа, то есть, натуральные числа. Таким образом, только что записанные свойства также справедливы для случаев, когда a=0 , а числа m и n – целые положительные.

      Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства (a p ) q =a p·q , (a −p ) q =a (−p)·q , (a p ) −q =a p·(−q) и (a −p ) −q =a (−p)·(−q) . Сделаем это.

      Для положительных p и q равенство (a p ) q =a p·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0 , то имеем (a 0 ) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1 , откуда (a 0 ) q =a 0·q . Аналогично, если q=0 , то (a p ) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1 , откуда (a p ) 0 =a p·0 . Если же и p=0 и q=0 , то (a 0 ) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1 , откуда (a 0 ) 0 =a 0·0 .

      Теперь докажем, что (a −p ) q =a (−p)·q . По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда . По свойству частного в степени имеем . Так как 1 p =1·1·…·1=1 и , то . Последнее выражение по определению является степенью вида a −(p·q) , которую в силу правил умножения можно записать как a (−p)·q .

      Аналогично .

      И .

      По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств.

      В предпоследнем из записанных свойств стоит остановиться на доказательстве неравенства a −n >b −n , которое справедливо для любого целого отрицательного −n и любых положительных a и b , для которых выполняется условие a. Запишем и преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства: . Так как по условию an n , следовательно, b n −a n >0 . Произведение a n ·b n тоже положительно как произведение положительных чисел a n и b n . Тогда полученная дробь положительна как частное положительных чисел b n −a n и a n ·b n . Следовательно, откуда a −n >b −n , что и требовалось доказать.

      Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями.

      Свойства степеней с рациональными показателями

      Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:

      1. свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями при a>0 , а если и , то при a≥0 ;
      2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями при a>0 ;
      3. свойство произведения в дробной степени при a>0 и b>0 , а если и , то при a≥0 и (или) b≥0 ;
      4. свойство частного в дробной степени при a>0 и b>0 , а если , то при a≥0 и b>0 ;
      5. свойство степени в степени при a>0 , а если и , то при a≥0 ;
      6. свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями: для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p ;
      7. свойство сравнения степеней с рациональными показателями и равными основаниями: для рациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .
      8. Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня n-ой степени и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.

        По определению степени с дробным показателем и , тогда . Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем , а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено.

        Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:

        По схожим принципам доказываются и остальные равенства:

        Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p . Запишем рациональное число p как m/n , где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p 0 в этом случае будут эквивалентны условия m 0 соответственно. При m>0 и am m . Из этого неравенства по свойству корней имеем , а так как a и b – положительные числа, то на основе определения степени с дробным показателем полученное неравенство можно переписать как , то есть, a p p .

        Аналогично, при m m >b m , откуда , то есть, и a p >b p .

        Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q . Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q , пусть при этом мы получим обыкновенные дроби и , где m1 и m2 – целые числа, а n — натуральное. При этом условию p>q будет соответствовать условие m1>m2 , что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Тогда по свойству сравнения степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями при 0m1 m2 , а при a>1 – неравенство a m1 >a m2 . Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и . А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q и 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .

        Свойства степеней с иррациональными показателями

        Из того, как определяется степень с иррациональным показателем, можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Так для любых a>0 , b>0 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями:

        1. a p ·a q =a p+q ;
        2. a p :a q =a p−q ;
        3. (a·b) p =a p ·b p ;
        4. (a:b) p =a p :b p ;
        5. (a p ) q =a p·q ;
        6. для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p ;
        7. для иррациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .
        8. Отсюда можно сделать вывод, что степени с любыми действительными показателями p и q при a>0 обладают этими же свойствами.

          www.cleverstudents.ru

          Степень и ее свойства

          Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

          Степенью называется выражение вида: , где:

          Степень с целым показателем

          степень, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

          Степень с рациональным показателем

          степень, показатель которой — отрицательные и дробные числа.

          Степень с иррациональным показателем

          степень, показатель которой — бесконечная десятичная дробь или корень.

          Свойства степеней

          Особенности степеней.

          • Отрицательное число, возведенное в четную степень, – число положительное.
          • Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, – число отрицательное.
          • Положительное число в любой степени – число положительное.
          • Ноль в любой степени равен .
          • Любое число в нулевой степени равно .
          • Что такое степень числа?

            Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

            Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи.

            Начнем со сложения.

            Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок.

            Теперь умножение.

            Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: . Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать». В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Согласись, считается легче и быстрее, чем .

            Вот таблица умножения. Повторяй.
            Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! Но…

            Вот таблица умножения. Повторяй.

            И другой, красивее:

            А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно –возведение числа в степень.

            Возведение числа в степень.

            Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень. Например, . Математики помнят, что два в пятой степени – это . И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.

            Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел. Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.

            Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.

            Пример из жизни №1.

            Начнем с квадрата или со второй степени числа.

            Представь себе квадратный бассейн размером метра на метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться. Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.

            Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет кусков. Это легко… Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет см на см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать. Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится плиток ( штук) и по другой тоже плиток. Умножив на , ты получишь плиток ( ).

            Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень». (Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше. Для ЕГЭ это очень важно).
            Итак, тридцать во второй степени будет ( ). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет . Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа. Квадрат – это изображение второй степени числа.

            Пример из жизни №2.

            Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа. По одной стороне клеток и по другой тоже . Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска – это квадрат со стороной , то можно возвести восемь в квадрат. Получится клетки. ( ) Так?

            Пример из жизни №3.

            Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?) Нарисуй бассейн: дно размером на метра и глубиной метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.

            Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать? Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту. В нашем случае объем бассейна будет равен кубов… Легче правда?

            А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно . Записывается это так: .

            Остается только запомнить таблицу степеней. Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать пальцем.

            Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.

            Пример из жизни №4.

            У тебя есть миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через лет? Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты – умный! Итак, в первый год — два умножить на два… во второй год — то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп! Ты заметил, что число перемножается само на себя раз. Значит, два в пятой степени – миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти миллиона получит тот, кто быстрее посчитает… Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?

            Пример из жизни №5.

            У тебя есть миллиона. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через года? Давай считать. Первый год — умножить на , потом результат еще на … Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя раза. Значит в четвертой степени равно миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это или .

            Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.

            Термины и понятия.

            Итак, для начала давай определим понятия. Как думаешь, что такое показатель степени? Это очень просто – это то число, которое находится «вверху» степени числа. Не научно, зато понятно и легко запомнить…

            Ну и заодно, что такое основание степени? Еще проще – это то число, которое находится внизу, в основании.

            Вот тебе рисунок для верности.

            Ну и в общем виде, чтобы обобщить и лучше запомнить… Степень с основанием « » и показателем « » читается как « в степени » и записывается следующим образом:

            Далее, почему говорят «степень числа с натуральным показателем»?

            «Степень числа с натуральным показателем»

            Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени – это натуральное число. Да, но что такое натуральное число? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?

            Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам. Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число . Ноль понять легко – это когда ничего нет. А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне рублей, это значит, что ты должен оператору рублей.

            Всякие дроби — это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа… Интересно, правда ведь?

            Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число .

            • Натуральными называются числа, используемые при счете, то есть и т.д.
            • Целыми – все натуральные числа, натуральные с минусом и число 0.
            • Рациональными считаются дробные числа.
            • Иррациональные числа – это бесконечная десятичная дробь

            Степень с натуральным показателем

            Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

          • Любое число в первой степени равно самому себе:
          • Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
          • Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза:

        Определение. Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:
        .

        youclever.org