Полезные статьи

Закон распределения дискретной величины примеры решения задач

Случайные величины. Дискретная случайная величина.
Математическое ожидание

Второй раздел по теории вероятностей посвящён случайным величинам, которые незримо сопровождали нас буквально в каждой статье по теме. И настал момент чётко сформулировать, что же это такое:

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.

Случайные величины, как правило, обозначают через *, а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, .

* Иногда используют , а также греческие буквы

Пример встретился нам на первом же уроке по теории вероятностей, где мы фактически рассмотрели следующую случайную величину:

– количество очков, которое выпадет после броска игрального кубика.

В результате данного испытания выпадет одна и только грань, какая именно – не предсказать (фокусы не рассматриваем); при этом случайная величина может принять одно из следующий значений:

.

– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

, либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах).

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта 🙂

Тем не менее, ваши гипотезы?

Коль скоро, множество действительных чисел бесконечно, то случайная величина может принять бесконечно много значений из некоторого промежутка. И в этом состоит её принципиальное отличие от предыдущих примеров.

Таким образом, случайные величины целесообразно разделить на 2 большие группы:

1) Дискретная (прерывная) случайная величина – принимает отдельно взятые, изолированные значения. Количество этих значений конечно либо бесконечно, но счётно.

…нарисовались непонятные термины? Срочно повторяем основы алгебры!

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание: в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную.

Закон распределения дискретной случайной величины

– это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент: поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

Найти

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах 🙂 Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля.

Решение: так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:

– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ:

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности, теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера:

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение: как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания. Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению:
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:

И для :

Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ: искомый закон распределения выигрыша:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились 🙂 Вспоминаем теоремы умножения и сложения. Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

или в свёрнутом виде:

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:

очка

В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близкО к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе. Собственно, об этом эффекте я уже подробно рассказывал на уроке о статистической вероятности.

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

, таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно.

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры 🙂 Ну, может, только ради развлечения.

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка: европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь дисперсия, о которой мы узнаем во 2-й части урока.

Но прежде будет полезно размять пальцы на клавишах калькулятора:

Случайная величина задана своим законом распределения вероятностей:

Найти , если известно, что . Выполнить проверку.

Тогда переходим к изучению дисперсии дискретной случайной величины, и по возможности, ПРЯМО СЕЙЧАС!! – чтобы не потерять нить темы.

Решения и ответы:

Пример 3. Решение: по условию – вероятность попадания в мишень. Тогда:
– вероятность промаха.

Составим – закон распределения попаданий при двух выстрелах:

– ни одного попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

– одно попадание. По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения независимых событий:

– два попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Проверка: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Ответ:

Примечание: можно было использовать обозначения – это не принципиально.

Пример 4. Решение: игрок выигрывает 100 рублей в 18 случаях из 37, и поэтому закон распределения его выигрыша имеет следующий вид:

Вычислим математическое ожидание:

Таким образом, с каждой поставленной сотни игрок в среднем проигрывает 2,7 рубля.

Пример 5. Решение: по определению математического ожидания:

поменяем части местами и проведём упрощения:

таким образом:

Выполним проверку:

, что и требовалось проверить.

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com

mathprofi.ru

Дискретные случайные величины

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате каждого испытания принимает одно заранее неизвестное значение, зависящее от случайных причин. Случайные величины обозначают заглавными латинскими буквами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ По своему типу случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Дискретная случайная величина — это такая случайная величина, значения которой могут быть не более чем счетными, то есть либо конечными, либо счетными. Под счетностью имеется ввиду, что значения случайной величины можно занумеровать.

Пример 1. Приведем примеры дискретных случайных величин:

а) число попаданий в мишень при $n$ выстрелах, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

б) число выпавших гербов при подкидывании монеты, здесь возможные значения $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

в) число прибывших кораблей на борт (счетное множество значений).

г) число вызовов, поступающих на АТС (счетное множество значений).

1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Дискретная случайная величина $X$ может принимать значения $x_1,\dots ,\ x_n$ с вероятностями $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Соответствие между этими значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины. Как правило, это соответствие задается с помощью таблицы, в первой строке которой указывают значения $x_1,\dots ,\ x_n$, а во второй строке соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin<|c|c|>
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$

Пример 2. Пусть случайная величина $X$ — число выпавших очков при подбрасывании игрального кубика. Такая случайная величина $X$ может принимать следующие значения $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Вероятности всех этих значений равны $1/6$. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины $X$:

$\begin<|c|c|>
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$

Замечание. Поскольку в законе распределения дискретной случайной величины $X$ события $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ образуют полную группу событий, то в сумме вероятности должны быть равны единице, то есть $\sum=1$.

2. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины задает ее «центральное» значение. Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений $x_1,\dots ,\ x_n$ на соответствующие этим значениям вероятности $p_1,\dots ,\ p_n$, то есть: $M\left(X\right)=\sum^n_$. В англоязычной литературе используют другое обозначение $E\left(X\right)$.

Свойства математического ожидания $M\left(X\right)$:

  1. $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины $X$.
  2. Математическое ожидание от константы равно самой константе, т.е. $M\left(C\right)=C$.
  3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
  4. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
  5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Пример 3. Найдем математическое ожидание случайной величины $X$ из примера $2$.

Можем заметить, что $M\left(X\right)$ заключено между наименьшим ($1$) и наибольшим ($6$) значениями случайной величины $X$.

Пример 4. Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=2$. Найти математическое ожидание случайной величины $3X+5$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2+5=11$.

Пример 5. Известно, что математическое ожидание случайной величины $X$ равно $M\left(X\right)=4$. Найти математическое ожидание случайной величины $2X-9$.

Используя вышеуказанные свойства, получаем $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4-9=-1$.

3. Дисперсия дискретной случайной величины.

Возможные значения случайных величин с равными математическими ожиданиями могут по-разному рассеиваться вокруг своих средних значений. Например, в двух студенческих группах средний балл за экзамен по теории вероятностей оказался равным 4, но в одной группе все оказались хорошистами, а в другой группе — только троечники и отличники. Поэтому возникает необходимость в такой числовой характеристике случайной величины, которая бы показывала разброс значений случайной величины вокруг своего математического ожидания. Такой характеристикой является дисперсия.

Дисперсия дискретной случайной величины $X$ равна:

В англоязычной литературе используются обозначения $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Очень часто дисперсию $D\left(X\right)$ вычисляют по формуле $D\left(X\right)=\sum^n_—<\left(M\left(X\right)\right)>^2$.

Свойства дисперсии $D\left(X\right)$:

  • Дисперсия всегда больше или равна нулю, т.е. $D\left(X\right)\ge 0$.
  • Дисперсия от константы равна нулю, т.е. $D\left(C\right)=0$.
  • Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии при условии возведения его в квадрат, т.е. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
  • Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
  • Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
  • Пример 6. Вычислим дисперсию случайной величины $X$ из примера $2$.

    Пример 7. Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=2$. Найти дисперсию случайной величины $4X+1$.

    Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\left(X\right)=16\cdot 2=32$.

    Пример 8. Известно, что дисперсия случайной величины $X$ равна $D\left(X\right)=3$. Найти дисперсию случайной величины $3-2X$.

    Используя вышеуказанные свойства, находим $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\left(X\right)=4\cdot 3=12$.

    4. Функция распределения дискретной случайной величины.

    Способ представления дискретной случайной величины в виде ряда распределения не является единственным, а главное он не является универсальным, поскольку непрерывную случайную величину нельзя задать с помощью ряда распределения. Существует еще один способ представления случайной величины — функция распределения.

    Функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F\left(x\right)$, которая определяет вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение, меньшее некоторого фиксированного значения $x$, то есть $F\left(x\right)=P\left(X 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$.

    График функции распределения $F\left(x\right)$:

    www.wikimatik.ru

    Дискретная случайная величина: примеры решений задач

    Полезные статьи и онлайн калькуляторы по этой теме:

    Решенные задачи

    Задача 1. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины?

    Задача 2. В магазине имеется 15 автомобилей определенной марки. Среди них 7 черного цвета, 6 серого и 2 белого. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки, безразлично какого цвета. Составьте ряд распределения числа проданных автомобилей черного цвета при условии, что автомобили отбирались случайно.

    Задача 3. В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 20%. Составьте ряд распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года.

    Задача 4. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти дисперсию этой случайной величины.

    Задача 5. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины – числа импортных из четырех наудачу выбранных телевизоров. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

    Задача 6. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных.

    Задача 7. Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено четыре варианта ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти M(X), D(X).

    Готовые примеры

    Нужны еще решения? Найди в решебнике сейчас:

    www.matburo.ru

    Задачи на тему Дискретные случайные величины

    Транскрипт

    1 Задачи на тему Дискретные случайные величины (для студентов первого курса факультетов ПЭК(1-4) и МБДА(1-5)) Задача 1. Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,4. Построить закон распределения случайной величины ξ числа библиотек, которые он может посетить, если ему доступны четыре библиотеки. Задача 2. В урне 8 шаров, из которых 5 черных, а остальные — красные. Из этой урны извлекаются 4 шара. Найти закон распределения дискретной случайной величины ξ число черных шаров в выборке. Задача 3. Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0,7, 0,6, 0,8. Построить закон распределения случайной величины ξ число попаданий в цель. Найти: FF(xx), MM ξ, DDξ, σσ(ξ). Задача 4. Поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность сдачи первого экзамена 0,9, второго 0,8, третьего 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа приходов на экзамен для лица, поступающего в институт. Найти математическое ожидание случайной величины. Задача 5. Из 10 телевизоров на выставке оказались 4 телевизора фирмы «Sony». Наудачу для осмотра выбраны 3 телевизора. Составить закон распределения числа телевизоров фирмы «Sony» среди 3 отобранных.

    2 Задача 6. В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 20%. Составить закон распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года и найти числовые характеристики этого распределения. Задача 7. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй 0,8, третьей 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию. Задача 8. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Задача 9. В группе из 16 человек 12 поддерживают некоторую правительственную программу. Из этой группы наудачу отбирают троих человек. Составить ряд распределения числа людей в выборке, поддерживающих программу, найти среднее число таких людей и дисперсию числа таких людей. Задача 10. Абитуриент при поступлении в институт сдаёт четыре экзамена, вероятность успешно сдать каждый экзамен равна 0,8. Случайная величина ξ описывает число сданных абитуриентом экзаменов (в

    3 предположении, что различные экзамены представляют собой независимые испытания). Составить ряд распределения случайной величины ξ. Задача 11. В магазине имеется 15 автомобилей определенной марки. Среди них 7 черного цвета, 6 серого и 2 белого. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки, безразлично какого цвета. Составьте ряд распределения числа проданных автомобилей черного цвета при условии, что автомобили отбирались случайно. Задача 12. Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 выигрыш в 100 рублей, на 20 выигрыш в 50 рублей, на 50 выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины ξ выигрыша на один билет. Задача 13. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения FF(xx) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины. Задача 14. Построить закон распределения для случайной величины ξ число попаданий в ворота при двух одиннадцатиметровых ударах, если вероятность попадания при одном ударе равна 0,7. Найти среднее квадратическое отклонение σσ(ξξ).

    4 Задача 15. С целью привлечения покупателей компания «Coca-Cola» проводит рекламную акцию, в которой каждая десятая бутылка напитка, выпущенного фирмой, является призовой. Построить ряд распределения для дискретной случайной величины ξ числа призовых бутылок из четырех приобретенных, найти ее функцию распределения FF(xx), числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения и график функции FF(xx). Задача 16. Среди 10 купленных театральных билетов 4 билета в партер. Наудачу взяли 5 билетов. Построить ряд распределения для дискретной случайной величины ξ — числа билетов в партер среди выбранных пяти, найти ее функцию распределения FF(xx), числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, средне- квадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения и график функции FF(xx). Задача 17. Два стрелка независимо друг от друга делают по два выстрела в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,5, для второго 0,6. Построить ряд распределения для дискретной случайной величины ξ суммарного числа попаданий в 37 мишень, найти ее функцию распределения FF(xx), а также числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения и график функции FF(xx). Задача 18. На полке из 6 книг 3 книги по математике и 3 по физике. Выбирают наудачу три книги. Найти закон распределения числа книг по

    5 математике среди выбранных книг. Найти математическое ожидание этой случайной величины. Задача 19. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого равна 0,6, второго 0,8. Составить закон распределения числа попаданий ξ. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, третий центральный момент и функцию распределения. Построить график FF(xx). Задача 20. В партии, содержащей 20 изделий, имеется четыре изделия с дефектами. Наудачу отобрали три изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения числа дефектных изделий, содержащихся в указанной выборке. Задача 21. В ящике 2 нестандартные и 4 стандартные детали. Из него последовательно вынимают детали до первого появления стандартной детали. Построить ряд и многоугольник распределения дискретной случайной величины ξ — числа извлеченных деталей. Задача 22. Случайная величина ξξ равна числу попаданий в цель при двух выстрелах. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Записать ряд распределения случайной величины ξ. Задача 23. Два баскетболиста по очереди забрасывают мяч в корзину с вероятностью попадания для первого 0,9, для второго 0,7. Составить таблицу распределения случайной величины ξξ числа попаданий в корзину, если каждый баскетболист делает по одному броску.

    6 Задача 24. Человек, имея 6 ключей, хочет открыть дверь. При этом он подбирает ключи случайно, зная, что только один ключ подходит к замку. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа испытаний при условии, что испробованный ключ устраняется. Построить многоугольник распределения. Определить вероятность того, что испытаний будет не больше двух. Задача 25. В семье двое детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными 0,5, найти закон распределения случайной величины ξ числа мальчиков в семье. Задача 26. Баскетболист забрасывает мяч в корзину до первого попадания. Построить ряд распределения случайного числа броской, если вероятность попадания равна 0,6, а число бросков не превосходит 6. Построить многоугольник распределения, найти математическое ожидание и дисперсию. Задача 27. В ходе проверки предприятия независимый эксперт случайным образом отбирает 4 отчета. При условии, что 87% отчетов не содержат ошибок, составить закон распределения числа неправильных отчетов, обнаруженных экспертом. Вычислить математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение. Найти функцию распределения и построить её график. Построить многоугольник распределения. Вычислить вероятности:

    7 Задача 28. Вероятность совершить покупку равна 0,3 для 1-го покупателя; 0,5 для 2-го; 0,6 для 3-го. Определить закон распределения величины ξ числа покупателей, совершивших покупку. Найти числовые характеристики этой случайной величины. Задача 29. Среди 8 часов, поступивших в ремонт, 2 с поломками оси. Наудачу взяты 3 часов. Составить закон распределения числа часов с поломками оси среди взятых 3. Задача 30. Вероятность успешно сдать экзамен по теории вероятности равна 0,8, а при каждой пересдаче увеличивается на 10%. Составить закон распределения числа попыток сдать экзамен, если студент может пересдавать экзамен не более 2 раз. Задача 31. Дискретная случайная величинаξ имеет закон распределения ξ 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 pp 0,1 0,2 0,4 p 4 0,1 Найти вероятность = P < ξ >p 4 = 0,8. Построить многоугольник распределения. Найти и построить график функции распределения. Задача 32. В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывался один выигрыш в 50 у.е. и десять выигрышей по 10 у.е. Найти закон распределения величины ξ стоимости возможного выигрыша.

    8 Задача 33. Пусть случайная величина ξ имеет следующий закон распределения: ξ P 1/4 1/4 1/2 Вычислить математическое ожидание Mξ, дисперсию Dξ и среднеквадратическое отклонение σ. Задача 34. В городе 4 коммерческих банка. У каждого риск банкротства в течение года составляет 10 %. Составить закон распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года и найти числовые характеристики этого распределения. ξ P 0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001 ; ;. Задача 35. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,8, второй 0,5, третьей 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию. ξ P 0,006 0,092 0,398 0,504 Задача 36. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа

    9 возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины. Задача 37. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них: ξ η 0 2 p 0,1 0,6 0,3 p 0,5 0,5 Требуется: а) составить закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками; б) найти функцию полученного в п. б) распределения. Задача 38. Пусть ξ, η, µ случайные величины: ξ выручка фирмы, η ее затраты, µ = ξ η прибыль. Найти закон распределения прибыли µ, если затраты и выручка независимы и заданы распределениями: ξ η 1 2 p 1/3 1/3 1/3 p 1/2 1/2 Найти функцию распределения величины µ и построить ее график. Задача 39. Дискретная случайная величинаξ имеет закон распределения ξ P 0,1 0,2 0,2 0,3 0,2 Требуется: а) найти закон распределения случайной величины η = 2ξ 2 5;б) найти функцию распределения величиныη и построить ее график; в) найти вероятность события < ξ >2>. Задача 40. Даны законы распределения двух независимых величин ξ и η:

    10 ξ η 2 3 pp 0,2 0,5? pp 0,4? Найти вероятности, с которыми случайные величины принимают значение 3, а затем составить закон распределения случайной величины ξ 3 проверить выполнение свойств математического ожидания и дисперсий: М(3ξ-2η)=3М(ξ)-2М(η), D(3ξ-2η)=9D(ξ)+4D(η). Задача 41. Дан ряд распределения случайной величины ξ -2η и ξ 2 4 P p 1 p 2 Найти функцию распределения этой случайной величины, если её математическое ожидание равно 3,4, а дисперсия равна 0,84. Задача 42. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины η = 0,4 ξ + 0,5 для заданного ряда распределения случайной величины ξ: ξ Р 0,2 0,2 0,4 0,2 М(η)=-0,94; D(η)=4,2496; σ(η)=2,06. Задача 43. Две независимые случайные величины ξ и η заданы своими рядами распределения ξ η P 0,1 0,5 0,4 P 0,2 0,4 0,4

    11 Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение суммы этих величин двумя способами: а) непосредственным вычислением; б) с использованием свойств сложения математических ожиданий и дисперсий. Задача 44. Дискретная случайная величина ξ имеет следующий закон распределения ξ Р 0,2 0,1 0,3 0,4 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины η=2ξ. М(η)=2,4 и D(η)=2,9. Задача 45. Независимые случайные величины ξ и η распределения заданы законами ξ η 1 2 P 0,3 0,4 0,3, P 0,5 0,5. Составить закон распределения случайной величины ξ (2 свойство D(2ξ- η)=4d(ξ)+d(η). η) и проверить Задача 46. Независимые случайные величины ξ и η заданы рядами распределения: ξ -2 1,5 2 3 η -1,5 0 2 Р 0,1 0,3 0,2? Р 0,3 0,2? Найти: 1) неизвестные вероятности; 2) М(ζ), D(ζ), σ(ζ), если ζ = 2ξ 2-3η. М(ζ)=9,3, D(ζ)=56,325, σ(ζ)=7,5.

    12 Задача 47. В урне 5 чёрных и 3 белых шара. Шары вынимают из урны по одному до появления чёрного шара. Случайная величина ξ число вынутых шаров. Найти закон распределения случайной величины ξ, её математическое ожидание М(ξ) и дисперсию D(ξ). ξ Р 35/56 15/56 5/56 1/56 М(ξ)=3/2, D(ξ)=15/28. Задача 48. Для подготовки к экзамену по теории вероятностей предложено 28 вопросов. Каждый билет состоит из трёх вопросов. Студент успел подготовить 21 вопрос. Случайная величина ξ число подготовленных вопросов в билете. Найти: а) закон распределения случайной величины ξ; б) М(ξ); в) Р<ξ 2>. Построить многоугольник распределения случайной величины ξ. а) ξ р 5/468 63/ / /468 б) М(ξ)=2, 25; в) Р<ξ 2>=0,85. Составили: Зарбалиев С.М. и Нетребко Н.В.

    docplayer.ru