Полезные статьи

Закон гука при розтягу

Фізика 10 клас (Остапенко Т.М.)

Закон Гука. Модуль Юнга

ЗАКОН ГУКА

Для кількісного опису сили пружності, яка виникає при деформації тіл Робертом Гуком був експериментально бува встановлений закон, який і названий на його честь.

Перш ніж його сформулювати введемо декілька понять:

Абсолютне видовження тіла — це величина, яка дорівнює абсолютному значенню різниці між кінцевою () та початковою () довжиною тіла.

(1)

Вимірюється абсолютне видовження в Сі у метрах (м)

Відносне видовження (позначається латинською літерою «епсілон») — це фізична величина, яка показу, яку частину складає абсолютне видовження тіла від початкової довжини цього ж тіла, коли на нього не діяла деформуюча сила.

(2)

Відносне видовження, як видно з формули (2) є безрозмірною величиною.

У 8-му класі ми вже формулювали закон Гука для невеликих деформацій розтягу чи стиску:

При невеликих пружних деформаціях розтягу чи стиску сила пружності прямо пропорційна абсолютному видовженню.

(3)

де, — величина сили пружності;

— абсолютне видовження — це величина, яка дорівнює абсолютному значенню різниці між кінцевими () та початковими () лінійними розмірами тіла (наприклад, різниця довжини розтягненої пружини та довжини пружини у недеформованому стані);

— коефіцієнт пружності, який вимірюється у Н/м і має наступний фізичний зміст:

Коефіцієнт пружності — це фізична величина, яка чисельно рівна силі пружності, яка виникає, коли абсолютне видовження тіла дорівнює 1 м (тобто лінійні розміри тіла змінюються у два рази).

Однак, цей закон є недосконалим. Чому? Як Ви, мабуть, помітили, читаючи урок присвячений деформаціям тіл, що при деформації тіла, деформації його частин не завжди однакові. Крім того, величина сили пружності, яка виникає в деформованому тілі, залежить від його попречного перерізу. Також з розтягом чи стиском тіла змінюється не лише його довжина, а й поперечний переріз, а зничить і коефіцієнт пружності k. Саме тому деформацію доцільно характеризувати механічною напругою, яка характеризує деформацію як певних частини тіла так і тіла в цілому.

Отже, закон Гука для деформації розтягу і стиску можна сформулювати ще й так:

Механічна напруга при невеликих деформаціях розтягу чи стиску прямо пропорційна відносному видовженню.

(4)

де — відносне видовження тіла;

Е — коефіцієнт пропорційності, який залежить від матеріалу тіла та його фізичного стану і називається модулем Юнга.

Підставивши (2) в (4) і виразивши модуль Юнга можна зрозуміти його фізичний зміст:

Модуль Юнга — це фізична величина, яка характеризує матеріал з якого зроблене тіло та його фізичний стан і чисельно дорівнює механічній напрузі в тілі при його видовженні (або стисненні) в два рази.

Оскільки відносне видовження тіла — це безрозмірна величина, то модуль Юнга теж вимірюється в Сі в паскалях.

Розпишемо закон Гука для деформації розтягу і стиску, щоб пов’язати відомий нам коефіцієнт пружності з модулем Юнга і розмірами тіла.

Таким чином, закон Гука у записі (4) є більш загальним і має ширше коло застосувань.

Для деформації зсуву закон Гука має такий вигляд:

де — кут зсуву;

— коефіцієнт зсуву

ЦІКАВО ЗНАТИ

Як Ви, мабудь, помітили, читаючи урок про деформації тіл, при деформації розтягу чи стиску змінюється і довжина і поперечні розміри тіла. Зміну поперечних розмірів тіла (d) характеризують також поперечним видовженням чи поперечним стиском:

— абсолютна зміна поперечних розмірів тіла, — абсолютні розміри тіла до деформації. Відношення відносної поперечної деформації тіла до відносної поздовжньої деформації називають коефіцієнтом Пуассона:

Коефіцієнт Пуассона залежить лише від матеріалу тіла і є однією із сталих, що характеризує пружні властивості тіла.

www.zhu.edu.ua

2.1.3 Закон Гука при розтягу (стиску)

Напруження і деформації розтягу і стиску пов’язані між собою залежністю, яку називають законом Гука, за ім’ям англійського фізика Роберта Гука (16351703), що встановив цей закон. Закон Гука справедливий лише у певних межах навантаження і формулюється так: нормальне напруження прямо пропорційне відносному видовженню або укороченню

. (2.8)

Коефіцієнт пропорційності Е характеризує жорсткість матеріалу, тобто його здатність протидіяти пружним деформаціям розтягу або стиску і називається модулем поздовжньої пружності, модулем пружності першого роду, модулем Юнга. Для сталі E = (1,8. 2,2)10 6 кг/см 2 = (1,8. 2,2)10 11 Па = (1,8. 2,2)10 5 МПа.

З врахуванням (2.1) і (2.4) отримаємо другий закон Гука у формі

. (2.9)

. (2.10)

Якщо нормальна сила N і площа перерізу А в межах ділянки l є змінними величинами, то

. (2.11)

Величина називається жорсткістю перерізу, а ЕА/l  жорсткістю бруса. Чим більша площа А і менша довжина l бруса, тим більша його жорсткість.

2.1.4 Статично невизначувані задачі

Пружна система (конструкція) є статично невизначуваною, якщо зусилля в її елементах не можуть бути знайдені тільки із рівнянь статики. Такі конструкції найбільш широко розповсюджені як більш жорсткі, надійні і економічні в порівнянні зі статично визначуваними.

Ступінь статичної невизначуваності системи визначається надлишком загального числа невідомих реакцій зовнішніх зв’язків і внутрішніх зусиль по відношенню до числа незалежних рівнянь рівноваги , які можна скласти для даної системи. Ці “зайві” (в розумінні забезпечення рівноваги системи і її геометричної незмінності) зв`язки накладають додаткові обмеження на переміщення тих перерізів, біля яких вони накладені.

Визначення всіх невідомих сил, тобто розкриття статичної невизначуваності, можливе тільки шляхом складання рівнянь, що доповнюють число рівнянь статики до числа невідомих. Ці додаткові рівняння відображають особливості геометричних зв`язків, накладених на деформовану систему. Вони можуть бути складені за допомогою уявлення картини переміщень в конструкції, при її деформуванні і тому їх називають рівняннями сумісності переміщень.

Методи розрахунку статично невизначуваних систем підрозділяються в залежності від того, що приймається при розв`язанні задачі за основні невідомі.

У разі, коли основними шуканими невідомими є зусилля в “зайвих” зв`язках системи, метод носить назву методу сил. Якщо основними невідомими є деформації або переміщення в системі, то розрахунок ведуть за так званим методом переміщень. Тепер існує досить великий різновид цих основних і змішаних методів.

Розв`язуючи рівняння переміщень сумісно з рівняннями статики, можна визначити невідомі зусилля в елементах системи. Причому, якщо система з жорсткими зв`язками, то рівняння сумісності переміщень утворюють самостійну систему, а її розв`язання дає значення зайвих невідомих. Якщо система має пружні зв`язки, то необхідно розв`язувати сумісно рівняння переміщень і статики.

Розрахунки рекомендується проводити в такій послідовності:

записати незалежні рівняння статики та встановити ступінь статичної невизначуваності;

скласти рівняння сумісності переміщень (число рівнянь сумісності переміщень повинно дорівнювати ступеню статичної невизначуваності системи)

замінити деформації через зусилля за законом Гука (2.9);

розв’язати отриману систему рівнянь, визначити внутрішні зусилля;

розрахувати напруження або площі поперечних перерізів стержнів в залежності від виду задачі.

studfiles.net

Деформації при розтягу-стиску, закон Гука, модуль Юнга І роду

Розглянемо стержень, зображений на рисунку 15. Нехай він має довжину l і площу поперечного перерізу А. Цей стержень розтягується силою F, прикладеною до вільного кінця стержня та власною вагою.

Рисунок 15. Розтяг стержня

При розтягу–стиску розглядають абсолютну деформацію видовження –l та відносну – ε, що дорівнює відношенню абсолютного видовження до початкової довжини стержня. Цю величину називають деформацією:

. (11)

Розглянемо спочатку видовження без урахування власної ваги стержня. Експериментально встановлена залежність

, (12)

яка є відображенням закону Гука, що пов’язує між собою сили і видовження лінійною залежністю. При цьому величина Е – це модуль Юнга І роду (або модуль пружності І роду).

Томас Юнг увів цю величину, яка є однією з найважливіших характеристик матеріалу.

Залежність (12) можна представити у дещо іншому вигляді:

,

, (13)

. (14)

З виразів (13), (14) можна визначити, що Е – це коефіцієнт пропорційності між напруженнями σ та деформаціями ε.Зрозуміло, що Е має розмірність напружень (Па, кПа, МПа), оскільки ε – величина безрозмірна. Величину EA” називають жорсткістю стержня при розтягу–стиску, а величину – відносною жорсткістю.

Коефіцієнт Пуассона

Якщо до стержня прикладати напруження вздовж осі, то в поперечному напрямку теж буде відбуватися деформація, рисунок 15. Якщо стержень уздовж осі буде видовжуватися, то в поперечному напрямі він буде звужуватися. Тоді поперечне видовження (точніше вкорочення) –

(15)

і відповідно поперечна деформація

. (16)

Однією з найважливіших механічних характеристик матеріалу є так званий коефіцієнт Пуассона:

. (17)

Цей коефіцієнт є безрозмірною величиною, яка для конструкційних матеріалів змінюється в межах 0 – 0,5. Враховуючи, що поздовжня та поперечна деформації мають протилежні знаки, можна записати:

. (18)

Слід зазначити, що для деяких матеріалів, наприклад, гума, біологічні тканини, коефіцієнт Пуассона може бути навіть більшим від 1.

Цими двома характеристиками далеко не вичерпується весь список механічних властивостей матеріалів, які повинні бути відомі інженерові-конструктору для правильного вибору матеріалу для конструкції, яку він конструює. Тому далі розглянемо основні властивості матеріалів та способи їх визначення.

1. Як визначаються нормальні напруження?

2. Охарактеризуйте критерій міцності при розтягу–стиску.

3. Що таке абсолютна та відносна деформації при розтягу стержня?

4. Що таке закон Гука при розтягу–стиску?

5. Що таке модуль Юнга?

6. Як визначається жорсткість стержня?

7. Що таке коефіцієнт Пуассона і як він визначається?

lektsii.org

Закон Гука при розтяганні і стисканні

Напруження і деформації розтягання і стискання пов’язані між собою залежністю, яку називають законом Гука, за ім’ям англійського фізика Роберта Гука (1635-1703), що встановив цей закон. Закон Гука справедливий лише у певних межах навантаження і формулюється так: нормальне напруження прямо пропорційне відносному видовженню або укороченню

(2.8)

Коефіцієнт пропорційності Е характеризує жорсткість матеріалу, тобто його здатність протидіяти пружним деформаціям розтягу або стиску і називається модулем повздовжньої пружності, модулем пружності першого роду, модулем Юнга.

E=(1,8. 2,2)-10 6 кг/см 2 =(1,8. 2,2)-10 11 Па=(1,8. 2,2)-10 5 МПа

З врахуванням (2.1) і (2.4) отримаємо другу формулу закону Гука

(2.9)

За формулою (2.9) можна знайти деформацію ділянки стержня довжиною l, якщо в межах цієї ділянки N і А сталі величини.

Повна деформація стержня, який має n ділянок дорівнює

(2.10)

(2.11)

Величина називається жорсткістю перерізу ,а ЕА/l — жорсткістю бруса. Чим більша площа Аі менша довжина l бруса, тим більша його жорсткість.

studopedia.org

Закон Гука та межі нелінійності

Закон Гука встановлює лінійну залежність між деформацією й механічними напруженнями. Закон Гука справедливий для малих пружних деформацій. Він був сформульований Робертом Гуком у 1660.

Закон Гука для випадку одновісного напруженого стану

У своїй найпростішій формі закон Гука записується для деформації довгого тонкого триженя або пружини

,

де F — сила, k — коефіцієнт жорсткості, х — видовження.

Ця формула не враховує зміни поперечних розмірів стрижня при розтягу. Крім того коефіцієнт жорсткості — це властивість стрижня, а не властивість матеріалу, з якого він виготовлений.

Запис закону Гука через напруження і відносні деформації дає можливість виключити вплив конструктивних особливостей стрижень на вид залежності між силовим параметром і деформацією. Для випадку лінійного навантаження закон Гука має вигляд:

,

де: σ — механічне напруження, визначається, як сила, що припадає на одиницю площі поперечного перерізу тіла;

— величина відносної деформації (відносне видовження); E – модуль Юнга.

Закон Гука для тривимірного напруженого стану

Закон Гука для тривимірного (складного) напруженого стану у випадку ізотропного матеріалу може бути записаний у вигляді системи рівнянь:

для лінійних деформацій для деформацій зсуву

ε – деформація розтягу-стиску в точці, σ – напруження розтягу-стиску, γ – деформація зсуву (кутова) в точці, τ – напруження зсуву (дотичне напруження) в точці, G – модуль зсуву, E – модуль Юнга — коефіцієнт Пуассона.

Закон можна сформулювати так: компоненти тензора деформації в даній точці тіла знаходяться в лінійній залежності від компонентів тензора напруження тієї ж точки.

Строга форма запису закону Гука

де — тензор механічних напружень, — тензор деформації, а — тензор чертвертого рангу, який називається тензор модулів пружності і є характеристикою речовина|речовини.

wiki.kspu.kr.ua