Полезные статьи

Законы логики задачи

Законы логики на уроках информатики и ИКТ

Урок по информатике рассчитан на учащихся 10-х классов общеобразовательной школы, в учебном плане которой входит раздел «Алгебра логики». Учащимся очень нелегко дается эта тема, поэтому мне, как учителю, захотелось заинтересовать их в изучении законов логики, упрощении логических выражений и с интересом подойти к решению логических задач. В обычной форме давать уроки по этой теме нудно и хлопотно, да и ребятам не всегда понятны некоторые определения. В связи с предоставлением информационного пространства, у меня появилась возможность выкладывать свои уроки в оболочке «learning». Учащиеся, зарегистрировавшись в ней, могут в свое свободное время посещать этот курс и перечитывать то, что было непонятно на уроке. Некоторые учащиеся, пропустив уроки по болезни, наверстывают дома или в школе пропущенную тему и всегда готовы к следующему уроку. Такая форма преподавания очень устроила многих ребят и те законы, которые им были непонятны, теперь в компьютерном виде ими усваиваются гораздо легче и быстрее. Предлагаю один из таких уроков информатики, который проводится интегративно с ИКТ.

  1. Объяснение нового материала, с привлечением компьютера – 25 минут.
  2. Основные понятия и определения, выложенные в «learning» — 10 минут.
  3. Материал для любознательных – 5 минут.
  4. Домашнее задание – 5 минут.
  5. 1. Объяснение нового материала

    Законы формальной логики

    Наиболее простые и необходимые истинные связи между мыслями выражаются в основных законах формальной логики. Таковыми являются законы тождества, непротиворечия, исключенного третьего, достаточного основания.

    Эти законы являются основными потому, что в логике они играют особо важную роль, являются наиболее общими. Они позволяют упрощать логические выражения и строить умозаключения и доказательства. Первые три из вышеперечисленных законов были выявлены и сформулированы Аристотелем, а закон достаточного основания — Г. Лейбницем.

    Закон тождества: в процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим себе.

    Закон непротиворечия: невозможно, чтобы одно и то оке в одно то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении. То есть невозможно что-либо одновременно утверждать и отрицать.

    Закон исключенного третьего: из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано.

    Закон достаточного основания: всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснована.

    Последний закон говорит о том, что доказательство чего-либо предполагает обоснование именно и только истинных мыслей. Ложные же мысли доказать нельзя. Есть хорошая латинская пословица: «Ошибаться свойственно всякому человеку, но настаивать на ошибке свойственно только глупцу». Формулы этого закона нет, так как он имеет только содержательный характер. В качестве аргументов для подтверждения истинной мысли могут быть использованы истинные суждения, фактический материал, статистические данные, законы науки, аксиомы, доказанные теоремы.

    Законы алгебры высказываний

    Алгебра высказываний (алгебра логики) — раздел математической логики, изучающий логические операции над высказываниями и правила преобразования сложных высказываний.

    При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий. Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы.

    Законы алгебры высказываний (алгебры логики) — это тавтологии.

    Иногда эти законы называются теоремами.

    В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул. Среди законов особо выделяются такие, которые содержат одну переменную.

    Первые четыре из приведенных ниже законов являются основными законами алгебры высказываний.

    Всякое понятие и суждение тождественно самому себе.

    Закон тождества означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки.

    Например, рассуждение Правильно говорят, что язык до Киева доведет, а я купил вчера копченый язык, значит, теперь смело могу идти в Киев неверно, так как первое и второе слова «язык» обозначают разные понятия.

    В рассуждении: Движение вечно. Хождение в школу — движение. Следовательно, хождение в школу вечно слово «движение» используется в двух разных смыслах (первое — в философском смысле — как атрибут материи, второе — в обыденном смысле — как действие по перемещению в пространстве), что приводит к ложному выводу.

    Не могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание. То есть если высказывание А — истинно, то его отрицание не А должно быть ложным (и наоборот). Тогда их произведение будет всегда ложным.

    Именно это равенство часто используется при упрощении сложных логических выражений.

    Иногда этот закон формулируется так: два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными. Примеры невыполнения закона непротиворечия:

    1. На Марсе есть жизнь и на Марсе жизни нет.

    2. Оля окончила среднюю школу и учится в X классе.

    Закон исключенного третьего:

    В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо не А. Примеры выполнения закона исключенного третьего:

    1. Число 12345 либо четное, либо нечетное, третьего не дано.

    2. Предприятие работает убыточно или безубыточно.

    3. Эта жидкость является или не является кислотой.

    Закон исключенного третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жесткой ситуацией: «либо — либо», «истина—ложь». Там же, где встречается неопределенность (например, в рассуждениях о будущем), закон исключенного третьего часто не может быть применен.

    Рассмотрим следующее высказывание: Это предложение ложно. Оно не может быть истинным, потому что в нем утверждается, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон исключенного третьего.

    Парадокс (греч. paradoxos — неожиданный, странный) в этом примере возникает из-за того, что предложение ссылается само на себя. Другим известным парадоксом является задача о парикмахере: В одном городе парикмахер стрижет волосы всем жителям, кроме тех, кто стрижет себя сам. Кто стрижет волосы парикмахеру? В логике из-за ее формальности нет возможности получить форму такого ссылающегося самого на себя высказывания. Это еще раз подтверждает мысль о том, что с помощью алгебры логики нельзя выразить все возможные мысли и доводы. Покажем, как на основании определения эквивалентности высказываний могут быть получены остальные законы алгебры высказываний.

    Например, определим, чему эквивалентно (равносильно) А (двойное отрицание А, т. е. отрицание отрицания А). Для этого построим таблицу истинности:

    По определению равносильности мы должны найти тот столбец, значения которого совпадают со значениями столбца А. Таким будет столбец А.

    Таким образом, мы можем сформулировать закон двойного отрицания:

    Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание. Например, высказывание А = Матроскинкот эквивалентно высказыванию А = Неверно, что Матроскин не кот.

    Аналогичным образом можно вывести и проверить следующие законы:

    Сколько бы раз мы ни повторяли: телевизор включен или телевизор включен или телевизор включен . значение высказывания не изменится. Аналогично от повторения на улице тепло, на улице тепло. ни на один градус теплее не станет.

    Операнды А и В в операциях дизъюнкции и конъюнкции можно менять местами.

    A v(B v C) = (A v B) v C;

    А & (В & C) = (A & В) & С.

    Если в выражении используется только операция дизъюнкции или только операция конъюнкции, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять.

    A v (B & C) = (A v B) &(A v C)

    (дистрибутивность дизъюнкции
    относительно конъюнкции)

    А & (B v C) = (A & B) v (А & C)

    (дистрибутивность конъюнкции
    относительно дизъюнкции)

    Закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции ана­логичен дистрибутивному закону в алгебре, а закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции аналога не имеет, он справедлив только в логике. Поэтому необходимо его доказать. Доказательство удобнее всего провести с помощью таблицы истинности:

    Проведите доказательство законов поглощения самостоятельно.

    Словесные формулировки законов де Моргана:

    Мнемоническое правило: в левой части тождества операция отрицания стоит над всем высказыванием. В правой части она как бы разрывается и отрицание стоит над каждым из простых высказываний, но одновременно меняется операция: дизъюнкция на конъюнкцию и наоборот.

    Примеры выполнения закона де Моргана:

    1) Высказывание Неверно, что я знаю арабский или китайский язык тождественно высказыванию Я не знаю арабского языка и не знаю китайского языка.

    2) Высказывание Неверно, что я выучил урок и получил по нему двойку тождественно высказыванию Или я не выучил урок, или я не получил по нему двойку.

    Замена операций импликации и эквивалентности

    Операций импликации и эквивалентности иногда нет среди логических операций конкретного компьютера или транслятора с языка программирования. Однако для решения многих задач эти операции необходимы. Существуют правила замены данных операций на последовательности операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции.

    Так, заменить операцию импликации можно в соответствии со следующим правилом:

    Для замены операции эквивалентности существует два правила:

    В справедливости данных формул легко убедиться, построив таблицы истинности для правой и левой частей обоих тождеств.

    Знание правил замены операций импликации и эквивалентности помогает, например, правильно построить отрицание импликации.

    Рассмотрим следующий пример.

    Пусть дано высказывание:

    Е = Неверно, что если я выиграю конкурс, то получу приз.

    Пусть А = Я выиграю конкурс,

    В = Я получу приз.

    Отсюда, Е = Я выиграю конкурс, но приз не получу.

    Интерес представляют и следующие правила:

    Доказать их справедливость можно также с помощью таблиц истинности.

    Интересно их выражение на естественном языке.

    Если Винни-Пух съел мед, то он сыт

    Если Винни-Пух не сыт, то меда он не ел.

    Задание: придумайте фразы-примеры на данные правила.

    2. Основные понятия и определения в Приложении 1

    3. Материал для любознательных в Приложении 2

    4. Домашнее задание

    1) Выучить законы логики, используя курс «Алгебры логики», размещенный в информационном пространстве (www.learning.9151394.ru).

    2) Проверить на ПК доказательство законов де Моргана, построив таблицу истинности.

  6. Основные понятия и определения (Приложение 1).
  7. Материал для любознательных (Приложение 2).
  8. xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Законы логики задачи

    § 4. Примеры задач на использование законов алгебры логики и формализацию высказываний

    С помощью тождественных преобразований максимально упростить следующее логическое выражение:

    `bar C vv` (`A` & `С`) `vv` (`bar(A vv C vv bar(B)`)

    Максимально упростить, это значит довести выражение до такого вида, когда невозможно применить ни один из законов алгебры логики, которые сокращают длину выражения.

    Для того, чтобы не запутаться, можно использовать общую стратегию упрощения логических выражений.

    1) Избавиться от операций импликации.

    2) Продвинуть отрицание вглубь выражения. То есть применять законы де Моргана, и закон двойного отрицания пока знак отрицания не будет стоять только над переменными (но не над операциями).

    После пункта 2 наступает относительная свобода действий. Можно использовать тождества поглощения или раскрывать скобки.

    В нашей задаче операция импликации отсутствует, поэтому первый пункт мы пропускаем. Переходим к пункту 2. Применяем два раза второй закон де Моргана (для дизъюнкции) и закон двойного отрицания к правой скобке и получаем следующее логическое выражение:

    `bar C vv ` (`A` & `C`) `vv` (`bar A` & `bar C` & `B`)

    Если теперь внимательно посмотреть на выражение, то очевидно, что к первому и третьему слагаемому можно применить первый закон поглощения, так как отрицание переменной C является первым слагаемым и входит в третье в качестве множителя.

    Поскольку дизъюнкцию ещё называют логическим сложением, её операнды называют слагаемыми, аналогично конъюнкция – это логическое умножение, и её операнды называют множителями.

    После применения первого закона поглощения получается следующее логическое выражение: `bar C` `vv` (`A` & `C`)

    Применим второй (нестандартный для алгебры) закон дистрибутивности. Получаем:

    (`bar C vv A`) & (`bar C vv C`)

    Ко второй скобке применяем закон исключённого третьего, превращаем её в единицу, а затем применяем закон поглощения константы `1` и в итоге получаем выражение: `bar C vv A`, которое упростить уже нельзя.

    Для лучшего понимания, рекомендуется выписать исходное логическое выражение, последовательно применить к нему все описанные действия и сравнить свой результат с приведённым в конце решения задачи.

    Обратите внимание, что исходное логическое выражение зависело от трёх переменных (`A, B, C`) , в то время как упрощённое в итоге зависит от двух логических переменных (`A` и `C`). При этом выражения всё равно остаются равносильными! Это происходит потому, что в процессе упрощения применялись законы поглощения. Аналогичный результат мог бы получиться, если в процессе упрощения выражения используются законы поглощения переменных константами. Исчезновение переменной при упрощении означает, что в исходном выражении она является несущественной.

    Укажите значения переменных `K`, `L`, `M`, `N`, при которых логическое выражение `(L vv M) ^^ (¬ K -> M) ^^ ¬ N ^^ ¬ M` истинно.

    Будем следовать стратегии, описанной в предыдущем примере. Первым делом избавляемся от операции импликации. Получаем следующее выражение:

    `(L vv M) ^^ ( K vv M) ^^ ¬ N ^^ ¬ M`

    Отрицание вглубь продвигать не надо. Теперь раскроем скобки. Для упрощения условимся операцию конъюнкции никак не обозначать (по аналогии с алгеброй чисел).

    `(LK vv LM vv MK vv M) ( ¬ N) ( ¬ M)`

    В первой скобке можно применить тождество поглощения, и «съесть» второе и третье слагаемое, которые содержат M в качестве множителя. Получается такое выражение:

    `(LK vv M) ( ¬ N) ( ¬ M)`

    Выполнив оставшиеся операции умножения, получим следующий результат:

    Получили одну конъюнкцию. Следовательно, существует всего один набор значений переменных, при котором получится значение «1»: `L=1`, `K=1`, `N=0`, `M=0`.

    Сколько решений имеет уравнение:

    `(((K¬L¬N) (¬L -> M))` \/ `((¬K` \/ `L` \/ `N) (¬L¬M))) (K`\/`N)=1`

    Исходное выражение достаточно сложное, поэтому будем его упрощать. Первым делом избавимся от импликаций, получим:

    `(((K¬L¬N) (L`\/ `M))` \/ `((¬K` \/ `L` \/ `N) (¬L¬M))) (K`\/`N) = 1`

    Теперь раскроем скобки. Для упрощения условимся не записывать слагаемые, куда одновременно входят некоторая переменная и её отрицание (они всё равно равны нулю):

    `(K¬L¬NM` \/ `¬K¬L¬M` \/ `N¬L¬M) (K`\/`N) = 1`

    Продолжаем раскрытие скобок. Получаем:

    `K¬L¬NM` \/ `¬K¬L¬MN` \/ `KN¬L¬M` \/ `N¬L¬M = 1`

    Ко второму, третьему и четвёртому слагаемому можно применить тождество поглощения. В итоге получится:

    `K¬L¬NM` \/ `N¬L¬M = 1`

    На этом упрощение закончено, теперь будем анализировать. Дизъюнкция равна единице, если хотя бы одно из слагаемых равно единице. Первое слагаемое равно единице на единственном наборе переменных: (`K=1`, `L=0`, `N=0`, `M=1`). Второе слагаемое равно единице на двух наборах: (`N=1`, `L=0`, `M=0`, `K` – любое (или `0` или `1`)). Соответственно, уравнение имеет три различных решения.

    В нарушении правил обмена валюты подозреваются четыре работника банка — Антипов (`А`), Борисов (`В`), Цветков (`С`) и Дмитриев (`D`). Известно, что:

    1) Если `А` нарушил, то и `В` нарушил правила обмена валюты.

    2) Если `В` нарушил, то и `С` нарушил или `А` не нарушал.

    3) Если `D` не нарушил, то `А` нарушил, а `С` не нарушал.

    4) Если `D` нарушил, то и `А` нарушил.

    Кто из подозреваемых нарушил правила обмена валюты?

    Чтобы решить эту задачу, необходимо провести процесс формализации условия, сформировать единое логическое выражение и провести его упрощение. Выделим из условия четыре простых высказывания: «`A` нарушил правила», «`B` нарушил правила», «`C` нарушил правила», и «`D` нарушил правила». Обозначим их соответственно буквами `A`, `B`, `C`, `D`. Тогда высказывания из условия формализуются следующим образом (конъюнкция не обозначается никак):

    Нам известно, что выполняются все 4 высказывания, следовательно, нужно объединить их знаками конъюнкции и найти наборы, при которых получившееся общее высказывание будет истинным. Эти наборы и покажут нам, какие возможны ситуации (правила обмена нарушил тот, у кого переменная в итоговом наборе имеет значение «1»).

    Итак, строим логическое выражение:

    `(A -> B)( B -> C` \/ `¬A)( ¬D -> A¬C)( D -> A)`.

    Теперь будем его упрощать. По алгоритму первым делом избавляемся от операции импликации. Получаем следующее выражение:

    `(¬A` \/ `B)( ¬B` \/ `C` \/ `¬A)( D` \/ `A¬C)( ¬D` \/ `A)`.

    Раскрываем скобки. Первую перемножаем со второй, а третью с четвёртой.

    `(¬A¬B` \/ `¬AC` \/ `¬A` \/ `BC` \/ `B¬A) ( DA` \/ `A¬C¬D` \/ `A¬C)`.

    Напомним, что слагаемые, равные нулю по причине того, что в них входит сразу и переменная и её отрицание, мы не записываем. В первой скобке теперь можно применить тождество поглощения, и «съесть» все слагаемые, имеющие в своём составе `A` с отрицанием. Во второй скобке можно также применить тождество поглощения, и «съесть» второе слагаемое. В итоге получаем:

    `( ¬A` \/ `BC ) ( DA` \/ `A¬C)`.

    При раскрытии оставшихся скобок три из четырёх слагаемых окажутся равными нулю, а последнее будет выглядеть следующим образом: `ABCD`. Из этого следует, что все четверо работников банка нарушили правило обмена валюты. (Только в этой ситуации предположения из условия задачи одновременно выполняются).

    Правила обмена валюты нарушили все.

    Известно, что обе надписи на дверях либо истинны, либо ложны одновременно. Надпись на первой двери – «Клад за другой дверью», на второй двери – «Клада за этой дверью нет, а за другой – есть». Где находится клад?

    По сути нас интересуют два простых высказывания: «Клад есть за первой дверью» и «Клад есть за второй дверью». Обозначим первое из них буквой `A`, а второе буквой `B`. Тогда изначальные предположения формализуются следующим образом:

    В этой задаче в отличие от предыдущей у нас две возможные ситуации относительно комбинирования начальных предположений – они либо оба истинны, либо оба ложны. Предположим, что они оба истинны, тогда при их перемножении получится тождественный ноль, что означает невозможность данной ситуации.

    Предположим, что оба высказывания ложны, тогда необходимо перед перемножением на каждое из них «навесить» отрицание (рассматривать истинность противоположных высказываний) В итоге получится следующее логическое выражение:

    Упрощаем его по алгоритму: отрицание продвигаем вглубь, применяя тождество Де Моргана. Получаем:

    `¬B (B` \/ `¬A)`.

    Раскроем скобки. Первое слагаемое сокращается, а второе выглядит следующим образом: `¬B¬A`.

    Полученный результат означает, что условия задачи выполняются, только в случае, когда оба высказывания ложны, а это означает, что клада нет ни за одной дверью. Не повезло нам `J`.

    Клада нет ни за одной дверью.

    В заключение приведём общую схему решения текстовых логических задач, которую мы уже применяли на практике при разборе примеров.

    1) Выделить из условия задачи элементарные (простые) высказывания и обозначить их буквами.

    2) Записать условие задачи на языке алгебры логики, соединив простые высказывания в сложные с помощью логических операций.

    3) Составить единое логическое выражение для всех требований задачи (возможно не одно).

    4) Используя законы алгебры логики попытаться упростить полученное выражение и вычислить все его значения либо построить таблицу истинности для рассматриваемого выражения (Таблицу можно строить, если в выражении не более трёх логических переменных).

    5) Выбрать решение — набор значений простых высказываний, при котором построенное логическое выражение является истинным;

    6) Проверить, удовлетворяет ли полученное решение условию задачи.

    zftsh.online

    4 закона логики

    В поле зрения логики как науки о познавательной деятельности пребывают не только формы мышления, но и отношения, возникающие между ними в мыслительном процессе. Дело в том, что не каждая совокупность понятий, суждений, умозаключений дает возможность построить эффективное размышление. Для него обязательными атрибутами являются последовательность, непротиворечивость, обоснованная связь. Эти аспекты, необходимые для эффективных размышлений, призваны обеспечить логические законы.

    В тренинге логического мышления на нашем сайте, мы даем короткую характеристику основным логическим законам. В этой статье рассмотрим 4 закона логики более детально, с примерами, ведь, как справедливо отметил автор учебника по логике Никифоров А. Л.: «Попытка нарушить закон природы способна убить вас, но точно так же попытка нарушить закон логики убивает в вас разум».

    Логические законы

    Чтобы избежать искаженного представления о предмете статьи, укажем, что, говоря об основных законах логики, мы имеем в виду законы формальной логики (тождества, непротиворечия, исключенного третьего, достаточного основания), а не логики предикатов.

    Логический закон – внутренняя существенная, необходимая связь между логическими формами в процессе построения размышления. Под логическим законом Аристотель, который, к слову, первым сформулировал три из четырех законов формальной логики, подразумевал предпосылку к объективной, «природной» правильности рассуждения.

    Многие учебные материалы часто предлагают следующие формулы для записи основных законов логики:

    • Закон тождества – А = А, или А ⊃ А;
    • Закон непротиворечия – A ∧ A;
    • Закон исключенного третьего – A ∨ A;
    • Закон достаточного основания – А ⊃ В.

    Стоит помнить, что такое обозначение во многом условно и, как отмечают ученые, не всегда в полной мере способны раскрыть суть самих законов.

    1. Закон тождества

    Аристотель в своей «Метафизике» указывал на тот факт, что размышление невозможно «если не мыслить каждый раз что-нибудь одно». Большинство современных учебных материалов закон тождества формулирует так: «Любое высказывание (мысль, понятие, суждение) на протяжении всего рассуждения должно сохранять один и тот же смысл».

    Отсюда следует важное требование: запрещается тождественные мысли принимать за различные, а различные – за тождественные. Поскольку естественный язык позволяет выражать одну и ту же мысль через различные языковые формы, то это может стать причиной подмены исходного смысла понятий и к замене одной мысли другой.

    Чтобы подтвердить закон тождества Аристотель обратился к анализу софизмов – ложных высказываний, которые при поверхностном рассмотрении кажутся правильными. Наиболее известные софизмы, наверное, слышал каждый. Например: «Полупустое есть то же, что и наполовину полное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное» или «6 и 3 есть четное и нечетное. 6 и 3 есть девять. Следовательно, 9 есть и четное, и нечетное».

    Внешне форма рассуждения правильная, но при анализе хода рассуждения обнаруживается ошибка, связанная с нарушением закона тождества. Так, во втором примере всем понятно, что число 9 не может быть одновременно и четным, и нечетным. Ошибка в том, что союз «и» в условии употребляется в разных значениях: в первом как объединение, одновременная характеристика чисел 6 и 3, а во втором – как арифметическое действие сложения. Отсюда и ошибочность вывода, ведь в процессе рассуждения к предмету были применены разные смыслы. По сути, закон тождества – требование в определенности и неизменности мыслей в процессе рассуждения.

    Извлекая будничный смысл из вышесказанного остановимся на понимании того, к чему относится закон тождества. В соответствии с ним всегда стоит помнить, что прежде чем приступить к обсуждению любого вопроса, нужно четко определить его содержание и неизменно ему следовать, не смешивая понятий и избегая двусмысленностей.

    Закон тождества не предполагает что вещи, явления и понятия неизменны в некоторых моментах, он основывается на том, что мысль, зафиксированная в определенном языковом выражении, несмотря на все возможные преобразования, должна оставаться тождественной сама себе в пределах конкретного соображения.

    2. Закон непротиворечия (противоречия)

    Формально-логический закон непротиворечия основывается на доводе, что два несовместимых друг с другом суждения не могут быть одновременно истинными; как минимум одно из них ложно. Оно вытекает из понимания содержания закона тождества: в одно время, в одном отношении истинными не могут быть два суждения о предмете, если одно из них что-нибудь утверждает о нем, а второе это же отрицает.

    Сам Аристотель писал: «Невозможно, чтобы одно и то же одновременно было и не было присуще одному и тому же, в одном и том же смысле».

    Разберемся с этим законом на конкретном примере – рассмотрим следующие суждения:

  9. Каждый посетитель сайта 4brain имеет высшее образование.
  10. Ни один посетитель сайта 4brain не имеет высшего образования.

Для того, чтобы определить какое высказывание истинно, обратимся к логике. Можем утверждать, что одновременно оба высказывания быть правдивыми не могут, поскольку являются противоречивыми. Из этого следует, что если доказать истинность одного из них, то второе обязательно будет ошибочным. Если же доказать ошибочность одного, то второе может быть как истинным, так и неправдивым. Чтобы узнать правду, исходные данные достаточно проверить, например, с помощью метрики.

По сути, этот закон запрещает утверждать и отрицать одно и то же одновременно. Внешне закон противоречия может показаться очевидным и вызвать справедливое сомнение по поводу целесообразности выделения столь простого вывода в логический закон. Но здесь есть свои нюансы и связаны они с природой самих противоречий. Так, контактные противоречия (когда что-либо утверждается и отрицается почти в одно и то же время, например, уже следующим предложением в речи) более чем очевидны и практически не встречаются. В отличие от первой разновидности, дистантные противоречия (когда между противоречивыми суждениями находится значительный интервал в речи или тексте) – более распространенные и их нужно избегать.

Чтобы эффективно использовать закон противоречия достаточно правильно учитывать условия его употребления. Основным требованием является соблюдение в высказываемой мысли единства времени и отношения между предметами. Другими словами, нарушением закона непротиворечия не может считаться утвердительное и отрицательное суждения, которые относятся к разному времени или употребляются в разных отношениях. Приведем примеры. Так, высказывания «Москва – столица» и «Москва – не столица» могут быть одновременно правильными, если мы говорим в первом случае о современности, а во втором – об эпохе Петра I, который, как известно, перенес столицу в Санкт-Петербург.

В плане разности отношений истинность противоречивых суждений можно передать на таком примере: «Моя подруга хорошо владеет испанским языком» и «Моя подруга плохо владеет испанским языком». Оба утверждения могут быть истинны, если в момент речи в первом случае говорится об успехах в изучении языка по университетской программе, а во втором о возможности работы профессиональным переводчиком.

Таким образом, закон противоречия фиксирует отношения между противоположными суждениями (логическими противоречиями) и никаким образом не касается противоположных сторон одной сущности. Его знание необходимо для дисциплины процесса мышления и исключения возможных неточностей, которые возникают в случае нарушения.

3. Закон исключенного третьего

Намного «знаменитей», чем предыдущие два закона Аристотеля, в широких кругах, благодаря значительной распространенности сентенции «tertium non datur», что в переводе значит «третьего не дано» и отображает суть закона. Закон исключенного третьего – требование к мыслительному процессу, согласно с которым если в одном из двух выражений что-либо о предмете утверждается, а во втором отрицается – одно из них обязательно истинно.

Аристотель в Книге 3 «Метафизики» писал: «…ничего не может быть посредине между двумя противоречивыми суждениями об одном, каждый отдельный предикат необходимо либо утверждать, либо отрицать». Древнегреческий мудрец отмечал, что закон исключенного третьего применим лишь в случае высказываний, употребленных в прошедшем или настоящем времени и не работает с будущим временем, ведь нельзя сказать с достаточной долей уверенности произойдет или не произойдет что-либо.

Очевидно, что закон непротиворечия и закон исключенного третьего тесно связаны. Действительно, те суждения, которые подходят под действие закона исключенного третьего, подходят и под закон непротиворечия, но не все суждения последнего, попадают под действие первого.

Закон исключенного третьего применим к таким формам суждений:

Одно суждение утверждает что-либо о предмете в одном и том же отношении в одно время, а второе – то же самое отрицает. Например: «Страусы – птицы» и «Страусы – не птицы».

  • «Все А есть В», «Некоторые А не есть В».
  • Одно суждение утверждает что-либо относительно всего класса предметов, второе – отрицает это же, но относительно лишь некоторой части предметов. Например: «Все учащиеся группы ИН-14 сдали сессию на отлично» и «Некоторые учащиеся группы ИН-14 не сдали сессию на отлично».

    • «Ни одно А не есть В», «Некоторые А есть В».
    • Одно суждение отрицает характеристику класса предметов, а второе эту же характеристику утверждает в отношении некоторой части предметов. Пример: «Ни один житель нашего дома не пользуется Интернетом» и «Некоторые жители нашего дома пользуются Интернетом».

      Позже, начиная с эпохи Нового времени, закон был раскритикован. Известная формулировка, применявшаяся для этого: «Насколько верно утверждать, что все лебеди черные, исходя из того, что нам до сих пор встречались только черные?». Дело в том, что закон применим лишь в аристотелевской двузначной логике, которая основывается на абстракции. Поскольку ряд элементов бесконечен, проверить все альтернативы в подобного рода суждениях очень сложно, здесь требуется применение других логических принципов.

      4. Закон достаточного основания

      Четвертый из основных законов формальной или классической логики был сформулирован по прошествии значительного периода времени после обоснования Аристотелем первых трех. Его автор – видный немецкий ученый (философ, логик, математик, историк; этот список занятий можно продолжить) – Готфрид Вильгельм Лейбниц. В своей работе о простых субстанциях («Монадология», 1714 г.) он писал: «…ни одно явление не может оказаться истинным или действительным, ни одно утверждение справедливым, – без достаточного основания, почему именно дело обстоит так, а не иначе, хотя эти основания в большинстве случаев вовсе не могут быть нам известны».

      Современное определение закона Лейбница основано на понимании, что всякое положение для того, чтобы считаться вполне достоверным, должно быть доказанным; должны быть известны достаточные основания, в силу которых оно считается истинным.

      Функциональное предназначение данного закона выражается в требовании соблюдать в мышлении такую черту, как обоснованность. Г. В. Лейбниц, по сути, объединил законы Аристотеля с их условиями определенности, последовательности и непротиворечивости рассуждения, и на основании этого разработал понятие о достаточном основании для того, чтоб характер размышления был логичным. Немецкий логик хотел этим законом показать, что в познавательной или практической деятельности человека рано или поздно наступает момент, когда недостаточно иметь просто истинное утверждение, нужно чтобы оно было обоснованным.

      При детальном анализе оказывается, что закон достаточного основания мы применяем в повседневной жизни довольно часто. Делать выводы, основываясь на фактах – значит применять этот закон. Школьник, указывающий в конце реферата список использованной литературы и студент, оформляющий ссылки на источники в курсовой работе – этим они подкрепляют свои выводы и положения, следовательно, используют закон достаточного основания. С тем же самым люди разных профессий сталкиваются в процессе своей работы: доцент – при поиске материала для научной статьи, спичрайтер – при написании речи, прокурор – во время подготовки обвинительного выступления.

      Нарушение закона достаточного основания также широко распространено. Иногда причиной тому неграмотность, иногда – специальные уловки с целью получения выгоды (например, построение аргументации с нарушением закона для победы в споре). Как пример, высказывания: «Этот человек не болеет, у него ведь нет кашля» или «Гражданин Иванов не мог совершить преступление, ведь он прекрасный работник, заботливый отец и хороший семьянин». В обоих случаях ясно, что приводимые аргументы в недостаточной мере обосновывают тезис, а, значит, являются прямым нарушением одного из основных законов логики – закона достаточного основания.

      Интересуетесь развитием логического мышления и мышления глобально? Обратите внимание на курс «Когнитивистика»».

      Отзывы и комментарии

      Поделиться своими знаниями в области законов классической логики, порекомендовать литературу для детального ознакомления с ними, а также обсудить данную статью вы можете путем добавления комментария в специальное поле ниже.

      4brain.ru